Exercício Resolvido de Dinâmica das Rotações

Mostre que o momento angular de um sistema de duas partículas em relação a um ponto fixo qualquer é dado pela soma do momento angular do sistema em relação ao centro de massa e do momento angular, de uma partícula de massa M = m₁+m₂ concentrada no centro de massa do sistema se movendo com a velocidade do centro de massa, em relação ao mesmo ponto fixo. Generalize o resultado para um sistema de n de partículas.

Esquema do problema:

O problema nos diz que queremos calcular “...o momento angular de um sistema de duas partículas em relação a um ponto fixo qualquer...”, então fixamos um sistema de referência S nesse ponto. As partículas 1 e 2 terão suas posições determinadas no espaço pelos vetores r₁ e r₂ em relação a esse sistema (Figura 1).

Figura 1

O momento angular das partículas nesse sistema pode ser escrito como a soma de duas partes, a primeira é dada no problema como sendo, “...do momento angular do sistema em relação ao centro de massa...”, assim fixamos um outro sistema de referência S’ no centro de massa. As partículas 1 e 2 terão suas posições dadas pelos vetores r₁' e r₂' em relação a esse sistema (Figura 2).

Figura 2

A segunda parte seria “...do momento angular, de uma partícula de massa M = m₁+m₂ concentrada no centro de massa do sistema se movendo com a velocidade do centro de massa, em relação ao mesmo ponto fixo.”, toda a massa do sistema estaria concentrada no centro de massa e este teria sua posição no espaço dado pelo vetor r_CM em relação ao referencial S (Figura3).

Figura 3

Todos os elementos estão representados na Figura 4.

Figura 4

Solução:

Pela Figura 4 os vetores r₁ e r₂ podem se escritos como

\[ \begin{gather} \mathbf r_1=\mathbf r_{CM}+\mathbf{r'}_1 \tag{I-a} \\[5pt] \mathbf r_2=\mathbf r_{CM}+\mathbf{r'}_2 \tag{I-b} \end{gather} \]

Como a velocidade é dada por \( \mathbf v=\frac{d\mathbf r}{dt} \), derivando as duas expressões de (I)

\[ \begin{gather} \mathbf v_1=\mathbf v_{CM}+\mathbf{v'}_1 \tag{II-a} \\[5pt] \mathbf v_2=\mathbf v_{CM}+\mathbf{v'}_2 \tag{II-b} \end{gather} \]

onde v₁ e v₂ são as velocidades das partículas 1 e 2 em relação ao sistema S, v_CM é a velocidade do centro de massa em relação ao sistema S e v'₁ e v'₂ são as velocidades das partículas 1 e 2 em relação ao referencial S’.
O momento angular é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p} \end{gather} \]

o momento angular em relação à S é

\[ \begin{gather} \mathbf L=\mathbf r_1\times\mathbf p_1+\mathbf r_2\times\mathbf p_2 \tag{III} \end{gather} \]

A quantidade de movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf p=m\mathbf v} \end{gather} \]

as quantidades de movimento p₁ e p₂ são

\[ \begin{gather} \mathbf p_1=m_1\mathbf v_1 \tag{IV-a} \\[5pt] \mathbf p_2=m_2\mathbf v_2 \tag{IV-b} \end{gather} \]

Substituindo as expressões (IV-a) e (IV-b) na expressão (III)

\[ \begin{gather} \mathbf L=\mathbf r_1\times m_1\mathbf v_1+\mathbf r_2\times m_2\mathbf v_2 \\[5pt] \mathbf L=m_1\mathbf r_1\times\mathbf v_1+m_2\mathbf r_2\times\mathbf v_2 \tag{V} \end{gather} \]

substituindo as expressões (I-a), (I-b), (II-a) e (II-b) na expressão (V)

\[ \begin{align} & \mathbf L=m_1\left(\mathbf r_{CM}+\mathbf{r'}_1\right)\times\left(\mathbf v_{CM}+\mathbf{v'}_1\right)+m_2\left(\mathbf r_{CM}+\mathbf{r'}_2\right)\times\left(\mathbf v_{CM}+\mathbf{v'}_2\right) \\[5pt] & \mathbf L=m_1\left(\mathbf r_{CM}\times\mathbf v_{CM}+\mathbf r_{CM}\times{\mathbf{v'}}_1+\mathbf{r'}_1\times\mathbf v_{CM}+\mathbf{r'}_1\times\mathbf v'_1\right)\mathrm{+} \\[5pt] & \qquad \qquad \mathrm{+} m_2\left(\mathbf r_{CM}\times\mathbf v_{CM}+\mathbf r_{CM}\times\mathbf v'_2+\mathbf{r'}_2\times\mathbf v_{CM}+\mathbf{r'}_2\times{\mathbf{v'}}_2\right) \\[5pt] & \mathbf L=\mathbf r_{CM}\times m_1\mathbf v_{CM}+\mathbf r_{CM}\times m_1\mathbf{v'}_1+\mathbf{r'}_1\times m_1\mathbf v_{CM}+\mathbf{r'}_1\times m_1\mathbf{v'}_1\mathrm{+} \\[5pt] & \qquad \qquad \mathrm{+} m_2\mathbf r_{CM}\times m_2\mathbf v_{CM}+\mathbf r_{CM}\times m_2\mathbf{v'}_2+\mathbf{r'}_2\times m_2\mathbf v_{CM}+\mathbf{r'}_2\times m_2\mathbf{v'}_2 \\[5pt] & \mathbf L=\mathbf r_{CM}\times\left(m_1+m_2\right)\mathbf v_{CM}+\mathbf r_{CM}\times\left(m_1\mathbf{v'}_1+m_2\mathbf{v'}_2\right)\mathrm{+} \\[5pt] & \qquad \qquad \mathrm{+} \left(m_1\mathbf{r'}_1+m_2\mathbf{r'}_2\right)\times\mathbf v_{CM}+\mathbf{r'}_1\times m_1\mathbf{v'}_1+\mathbf{r'}_2\times m_2\mathbf{v'}_2 \end{align} \]

Analisando os termos do lado direito da expressão acima

Primeiro termo: \( \mathbf r_{CM}\times\left(m_1+m_2\right)\mathbf v_{CM}=\mathbf r_{CM}\times M\mathbf v_{CM} \), será o momento angular de uma partícula de massa M localizada no centro de massa, se movendo com a velocidade do centro de massa, e posição dada pelo vetor r_CM em relação ao referencial S (terceira parte do enunciado do problema).
Terceiro termo: \( \left(m_1\mathbf{r'}_1+m_2\mathbf{r'}_2\right)\times\mathbf v_{CM} \), multiplicando e dividindo o termo entre parênteses pela massa total do sistema, M = m₁+m₂, teremos
\[ \begin{gather} \left(m_1\mathbf{r'}_1+m_2\mathbf{r'}_2\right)\frac{M}{M}=M\frac{\left(m_1\mathbf{r'}_1+m_2\mathbf{r'}_2\right)}{M}=M\frac{\sum{m}_i\mathbf{r'}_i}{M} \end{gather} \]
onde o termo \( \frac{\sum {m}_i\mathbf{r'}_i}{M} \) é a própria definição de centro de massa. Assim a posição do centro de massa no referencial do centro de massa é zero.

Observação: Pela definição de centro de massa, o vetor posição de um sistema de partículas em relação a um referencial S é dado por \( \mathbf r_{CM}=\frac{\sum{m}_i\mathbf r_i}{M} \), para duas massas, em particular

\[ \begin{gather} \mathbf r_{CM}=\frac{m_1\mathbf r_1+m_2\mathbf r_2}{M} \end{gather} \]

onde r_CM é o vetor posição do centro de massa em relação ao referencial S e r₁ e r₂ são os vetores posição das partículas m₁ e m₂ no mesmo referencial.

Se o referencial S estiver colocado na posição do centro de massa, os vetores posição r₁ e r₂ serão indicados a partir desta posição e o vetor r_CM será zero.
Isto é o que acontece com o segundo e terceiro termos da expressão do momento angular, os vetores indicados com linha estão no referencial S’ que está no centro de massa, por isso estes termos são nulos.

Segundo termo: \( \mathbf r_{CM}\times\left(m_1\mathbf{v'}_1+m_2\mathbf{v'}_2\right) \) é a velocidade do centro de massa no referencial do centro de massa que será zero.
O Quarto e o Quinto termos: \( \mathbf{r'}_1\times m_1\mathbf{v'}_1+\mathbf{r'}_2\times m_2\mathbf{v'}_2 \) representam o momento angular de um sistema de duas partículas em relação ao referencial S’, ou seja é o momento angular do sistema em relação ao centro de massa (a segunda parte do enunciado), assim podemos escrever
\[ \begin{gather} {\mathbf L}_{CM}=\mathbf{r'}_1\times m_1\mathbf{v'}_1+\mathbf{r'}_2\times m_2\mathbf{v'}_2 \end{gather} \]

Assim o momento angular pode ser escrito na forma pedida

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf L={\mathbf L}_{CM}+\mathbf r_{CM}\times M\mathbf v_{CM}} \end{gather} \]

Generalizando para um sistema de n partículas, o vetor posição será escrito como

\[ \begin{gather} \qquad \qquad \qquad\mathbf r_i=\mathbf r_{CM}+\mathbf r_i\qquad i=1..n \tag{VI} \end{gather} \]

derivando em relação ao tempo as velocidades das partículas serão dadas por

\[ \begin{gather} \qquad \qquad \qquad\mathbf v_i=\mathbf v_{CM}+\mathbf v_i\qquad i=1..n \tag{VII} \end{gather} \]

O momento angular é dado por

\[ \begin{gather} \mathbf L=\sum_{i=1}^n\mathbf r_i\times\mathbf p_i \tag{VIII} \end{gather} \]

a quantidade de movimento p_i é

\[ \begin{gather} \mathbf p_i=m_i\mathbf v_i \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)

\[ \begin{gather} \mathbf L=\sum_{i=1}^n\mathbf r_i\times m_i\mathbf v_i \tag{X} \end{gather} \]

substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (X)

\[ \begin{gather} \mathbf L=\sum_{i=1}^n\left(\mathbf r_{CM}+\mathbf{r'}_i\right)\times m_i\left(\mathbf v_{CM}+\mathbf{v'}_i\right) \\[5pt] \mathbf L=\sum_{i=1}^n\mathbf r_{CM}\times m_i\mathbf v_{CM}+\mathbf r_{CM}\times m_i\mathbf{v'}_i+\mathbf{r'}_i\times m_i\mathbf v_{CM}+\mathbf{r'}_i\times m_i\mathbf{v'}_i \\[5pt] \mathbf L=\mathbf r_{CM}\times\mathbf v_{CM}\underbrace{\sum_{i=1}^n{m}_i}_M+\mathbf r_{CM}\times{\underbrace{\sum_{i=1}^n{m}_i\mathbf{v'}_i}_0}+\underbrace{\sum_{i=1}^n{m}_i\mathbf{r'}_i}_0\times\mathbf v_{CM}+\underbrace{\sum_{i=1}^n{r'}_i\times m_i\mathbf{v'}_i}_{{\mathbf L}_{CM}} \end{gather} \]

Analisando os termos da expressão

No primeiro termo o somatório representa a massa total do sistema. Assim este termo representa o momento angular do sistema, com toda a massa localizada no centro de massa, em relação ao referencial S e se movendo com a velocidade do centro de massa, ou seja
\[ \begin{gather} \mathbf r_{CM}\times\mathbf v_{CM}\sum_{i=1}^n{m}_i=\mathbf r_{CM}\times{M}\mathbf v_{CM} \end{gather} \]
O segundo e o terceiro termos são nulos porque estão calculados em relação ao referencial S’ que está fixo no centro de massa do sistema.
O quarto termo representa o momento angular do sistema em relação ao referencial S’
\[ \begin{gather} {\mathbf L}_{CM}=\sum_{i=1}^n{r'}_i\times m_i\mathbf{v'}_i \end{gather} \]

Assim o momento angular em relação ao referencial S pode ser escrito como

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf L={\mathbf L}_{CM}+\mathbf r_{CM}\times M\mathbf v_{CM}} \end{gather} \]

Esta expressão é a mesma que foi obtida para duas partículas, isto mostra que a expressão serve para um sistema de duas, três, quatro ou n partículas.