Um corpo, cuja seção reta perpendicular ao plano de rolamento é um círculo de raio R e raio de giro
G, desce um plano inclinado de θ em relação à horizontal. O corpo parte do repouso de uma altura
h e rola sem escorregamento, determinar a velocidade e a aceleração do centro de massa quando o corpo
atinge o solo.
Dados do problema:
- Raio do corpo: R;
- Raio de giro do corpo: G;
- Inclinação do plano em relação à horizontal: θ;
- Altura do plano em relação à horizontal: h.
Adotamos g para o valor da aceleração da gravidade
Esquema do problema:
Adotando-se um Nível de Referência (N.R.) no chão.
Solução:
Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica a energia que o corpo possui no alto do plano, quando
começa o movimento, será igual à energia que possui quando chega no chão.
\[
\begin{gather}
E_{\small M}^{i}=E_{\small M}^{f}
\end{gather}
\]
Pela Figura 1 temos que no alto do plano o centro de massa do corpo (C.M.) está inicialmente em repouso
então só possui energia potencial
\( E_{\small P}^{i} \)
devido àaltura, na parte de baixo ele possui energia potencial
\( E_{\small P}^{f} \),
pois o centro de massa está a uma altura igual ao raio em relação ao nível de referência, energia cinética
\( E_{\small C}^{f} \)
devido àvelocidade de translação do centro de massa e energia cinética de rotação
\( E_{\small{CR}}^{f} \)
devido àrotação do corpo em torno do centro de massa enquanto desce o plano. Então podemos escrever
\[
\begin{gather}
E_{\small P}^{i}=E_{\small P}^{f}+E_{\small C}^{f}+E_{\small{CR}}^{f} \tag{I}
\end{gather}
\]
a energia potencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{\small P}=mgh} \tag{II}
\end{gather}
\]
a energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{\small C}=\frac{mv^2}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
a energia cinética de rotação é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{\small{CR}}=\frac{I\omega^2}{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II), (III) e (IV) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
mg(h+R)=mgR+\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2} \\[5pt]
mgh+mgR=mgR+\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2} \\[5pt]
mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2} \tag{V}
\end{gather}
\]
Observação: Se adotássemos o
Nível de Referência (N.R.) no centro do disco
(Figura 2) não teríamos o termo da energia potencial dado pela altura do raio em relação ao
Nível de Referência (
mgR).
Assim a energia potencial dependeria apenas da diferença de altura do deslocamento (
h), a expressão
para a conservação da energia se reduziria a
\[
\begin{gather}
mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2}
\end{gather}
\]
Como o corpo rola sem escorregar podemos expressar a velocidade como
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
a velocidade angular do corpo será
\[
\begin{gather}
\omega =\frac{v}{R} \tag{VI}
\end{gather}
\]
O momento de inércia de um corpo é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{I=mG^2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{mG^2}{2}\left(\frac{v}{R}\right)^2 \\[5pt]
gh=\frac{v^2}{2}+\frac{G^2}{2}\frac{v^2}{R^2}
\end{gather}
\]
multiplicando toda a equação por 2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad gh=\frac{v^2}{2}+\frac{G^2}{2}\frac{v^2}{R^2}\qquad (\times 2) \\[5pt]
2gh=2\times\frac{v^2}{2}+2\times\frac{G^2}{2}\frac{v^2}{R^2} \\[5pt]
2gh=v^2+G^2\frac{v^2}{R^2} \\[5pt]
2gh=v^2\left(1+\frac{G^2}{R^2}\right) \\[5pt]
v^2=\frac{2gh}{1+\dfrac{G^2}{R^2}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\left(\dfrac{G}{R}\right)^2}\;}}
\end{gather}
\]
Para o cálculo da aceleração consideremos o centro de massa como sendo um ponto material que vai
percorrer uma distância Δ
S, desde o topo do plano inclinado até sua base. Esta distância
poderá ser encontrada usando a
Equação de Torricelli
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v^2=v_0^2+2a\Delta S}
\end{gather}
\]
onde a velocidade inicial do centro de massa é zero (
v0 = 0) e a distância percorrida
Δ
S é dada por
\( \operatorname{sen}\theta=\frac{h}{\Delta S}\Rightarrow \Delta S=\frac{h}{\operatorname{sen}\theta} \),
(Figura 3), usando estas condições e a expressão (VIII) na
Equação de Torricelli
\[
\begin{gather}
\frac{2gh}{1+\dfrac{G^2}{R^2}}=0^2+2a\frac{h}{\operatorname{sen}\theta} \\[5pt]
\frac{g}{1+\dfrac{G^2}{R^2}}=a\frac{1}{\operatorname{sen}\theta}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=\frac{g\operatorname{sen}\theta}{1+\left(\dfrac{G}{R}\right)^2}}
\end{gather}
\]
