Exercício Resolvido de Dinâmica das Rotações
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Um corpo, cuja seção reta perpendicular ao plano de rolamento é um círculo de raio R e raio de giro G, desce um plano inclinado de θ em relação à horizontal. O corpo parte do repouso de uma altura h e rola sem escorregamento, determinar a velocidade e a aceleração do centro de massa quando o corpo atinge o solo.
Dados do problema:
- Raio do corpo: R;
- Raio de giro do corpo: G;
- Inclinação do plano em relação à horizontal: θ;
- Altura do plano em relação à horizontal: h.
Esquema do problema:
Adotando-se um Nível de Referência (N.R.) no chão.
Solução
Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica a energia que o corpo possui no alto do plano, quando começa o movimento, será igual à energia que possui quando chega no chão.
\[
E_{M}^{i}=E_{M}^{f}
\]
Pela Figura 1 temos que no alto do plano o centro de massa do corpo (C.M.) está inicialmente em repouso
então só possui energia potencial
\( E_{P}^{i} \)
devido àaltura, na parte de baixo ele possui energia potencial
\( E_{P}^{f} \),
pois o centro de massa está a uma altura igual ao raio em relação ao nível de referência, energia cinética
\( E_{C}^{f} \)
devido àvelocidade de translação do centro de massa e energia cinética de rotação
\( E_{CR}^{f} \)
devido àrotação do corpo em torno do centro de massa enquanto desce o plano. Então podemos escrever
\[
\begin{gather}
E_{P}^{i}=E_{P}^{f}+E_{C}^{f}+E_{CR}^{f} \tag{I}
\end{gather}
\]
a energia potencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{P}=mgh} \tag{II}
\end{gather}
\]
a energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{ E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
a energia cinética de rotação é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{CR}=\frac{I\omega ^{2}}{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II), (III) e (IV) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
mg(h+R)=mgR+\frac{mv^{2}}{2}+\frac{I\omega^{2}}{2}\\
mgh+mgR=mgR+\frac{mv^{2}}{2}+\frac{I\omega^{2}}{2}\\
mgh=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{I\omega ^{2}}{2} \tag{V}
\end{gather}
\]
Observação: Se adotássemos o Nível de Referência (N.R.) no centro do disco
(Figura 2) não teríamos o termo da energia potencial dado pela altura do raio em relação ao
Nível de Referência (mgR).
Figura 2
Assim a energia potencial dependeria apenas da diferença de altura do deslocamento (h), a expressão para a conservação da energia se reduziria a
Assim a energia potencial dependeria apenas da diferença de altura do deslocamento (h), a expressão para a conservação da energia se reduziria a
\[
mgh=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{I\omega ^{2}}{2}
\]
Como o corpo rola sem escorregar podemos expressar a velocidade como
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\]
a velocidade angular do corpo será
\[
\begin{gather}
\omega =\frac{v}{R} \tag{VI}
\end{gather}
\]
O momento de inércia de um corpo é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{I=mG^{2}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
mgh=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{mG^{2}}{2}\left(\frac{v}{R}\right)^{2}\\
gh=\frac{v^{2}}{2}+\frac{G^{2}}{2}\frac{v^{2}}{R^{2}}
\end{gather}
\]
multiplicando toda a equação por 2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad gh=\frac{v^{2}}{2}+\frac{G^{2}}{2}\frac{v^{2}}{R^{2}}\qquad (\times 2)\\[5pt]
2gh=2.\frac{v^{2}}{2}+2.\frac{G^{2}}{2}\frac{v^{2}}{R^{2}}\\[5pt]
2gh=v^{2}+G^{2}\frac{v^{2}}{R^{2}}\\2gh=v^{2}\left(1+\frac{G^{2}}{R^{2}}\right)\\[5pt]
v^{2}=\frac{2gh}{1+\dfrac{G^{2}}{R^{2}}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\left(\dfrac{G}{R}\right)^{2}}\;}}
\]
Para o cálculo da aceleração consideremos o centro de massa como sendo um ponto material que vai
percorrer uma distância ΔS, desde o topo do plano inclinado até sua base. Esta distância
poderá ser encontrada usando a Equação de Torricelli
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S}
\]
onde a velocidade inicial do centro de massa é zero (v0 = 0) e a distância percorrida
ΔS é dada por
\( \operatorname{sen}\theta =\frac{h}{\Delta S}\Rightarrow \Delta S=\frac{h}{\operatorname{sen}\theta } \),
(Figura 3), usando estas condições e a expressão (VIII) na Equação de Torricelli
\[
\begin{gather}
\frac{2gh}{1+\dfrac{G^{2}}{R^{2}}}=0^{2}+2a\frac{h}{\operatorname{sen}\theta}\\
\frac{g}{1+\dfrac{G^{2}}{R^{2}}}=a\frac{1}{\operatorname{sen}\theta}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a=\frac{g\operatorname{sen}\theta }{1+\left(\dfrac{G}{R}\right)^{2}}}
\]
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