Um corpo de massa m está preso a uma corda inextensível, de massa desprezível e gira num plano
horizontal constituindo um pêndulo cônico. Sendo L o comprimento da corda e g a aceleração
local da gravidade, determine a velocidade tangencial que o corpo deve ter para que o ângulo θ que
a corda forma com a vertical seja 90°.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m;
- Comprimento da corda: L;
- Aceleração local da gravidade: g.
Esquema do problema:
A massa m está sob a ação da força peso (P) e da tração (T) na corda. Como o corpo
realiza um movimento circular ele está sob a ação da aceleração centrípeta (acp),
apontada radialmente para o centro da trajetória. O ângulo entre a tração na corda e a vertical passando
pelo corpo será θ, mesmo ângulo que temos entre a corda L e a vertical, pois estes ângulos
são alternos internos (Figura 1).
Solução:
Desenhando as forças que atuam no corpo num sistema de eixos coordenados (Figura 2) e aplicando a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F=m\mathbf{a}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf T-\mathbf P=m\mathbf{a} \\[5pt]
\mathbf T_{x}+\mathbf T_{y}-m\mathbf g=m\mathbf{a} \\[5pt]
T_{x}\;\mathbf i+T_{y}\;\mathbf j-mg\;\mathbf j=m(a_{x}\;\mathbf i+a_{y}\;\mathbf j) \\[5pt]
T_{x}\;\mathbf i+T_{y}\;\mathbf j-mg\;\mathbf j=ma_{x}\;\mathbf i+ma_{y}\;\mathbf j
\end{gather}
\]
onde
Tx e
ax são as componentes da tração e da aceleração na direção
i e
Ty e
ay são as componentes da tração e da aceleração na
direção
j.
Separando as componentes:
\[
\begin{gather}
T_{x}=ma_{x} \tag{I}
\end{gather}
\]
o módulo da componente Tx é dado por
\[
\begin{gather}
T_{x}=T\operatorname{sen}\theta \tag{II}
\end{gather}
\]
e a componente da aceleração ax é a aceleração centrípeta (acp)
responsável pelo corpo fazer a curva, substituindo esta aceleração e a expressão (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
T\operatorname{sen}\theta=ma_{cp} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T_{y}-mg=ma_{y} \tag{IV}
\end{gather}
\]
o módulo da componente Ty é dado por
\[
\begin{gather}
T_{y}=T\cos\theta \tag{V}
\end{gather}
\]
com não existe movimento nesta direção a componente da aceleração é nula (ay = 0),
substituindo esta aceleração e a expressão (V) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
T\cos\theta -mg=m\times 0 \\
T\cos\theta -mg=0 \\
T\cos\theta=mg \tag{VI}
\end{gather}
\]
Dividindo a expressão (III) pela expressão (VI)
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{T}\operatorname{sen}\theta}{\cancel{T}\cos\theta}=\frac{\cancel{m}a_{cp}}{\cancel{m}g} \\[5pt]
\operatorname{tg}\theta=\frac{a_{cp}}{g} \\[5pt]
a_{cp}=g\operatorname{tg}\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
O módulo da aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{v^2}{R}=g\operatorname{tg}\theta \\[5pt]
v^2=Rg\operatorname{tg}\theta \\
v=\left(Rg\operatorname{tg}\theta\right)^{\frac{1}{2}} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Da figura 3 podemos escrever o raio (
R) da trajetória descrita pelo corpo como
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\theta=\frac{R}{L} \\[5pt]
R=L\operatorname{sen}\theta \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
v=\left(gL\operatorname{sen}\theta \operatorname{tg}\theta\right)^{\frac{1}{2}} \tag{XI}
\end{gather}
\]
Queremos saber a velocidade para a qual o ângulo será
\( \theta=90°=\dfrac{\pi}{2} \),
para este ângulo o valor da tangente da expressão (XI) tende ao infinito
\[
\begin{gather}
\lim_{\theta \to \frac{\pi }{2}}v=\lim _{\theta \to \frac{\pi}{2}}\left(gL\operatorname{sen}\theta \operatorname{tg}\theta\right)^{\frac{1}{2}}=\left(gL\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(gL.1.\infty\right)^{\frac{1}{2}}=\infty
\end{gather}
\]
Observação: Na prática o ângulo nunca chega a 90°, pois para isso seria preciso uma velocidade
infinita, por mais rápido que se gire o corpo maior será o ângulo que ele forma com a vertical, no entanto
nunca ficará perfeitamente horizontal.
