Um projétil de massa m é lançado com velocidade inicial v0 formando um ângulo
θ com a horizontal. No projétil atua a força de resistência devido ao ar proporcional à velocidade.
Determinar as equações da velocidade e da posição em função do tempo.
Dados do problema:
- Massa do projétil: m;
- Velocidade inicial do projétil: v0;
- Ângulo de lançamento do projétil com a horizontal: θ;
- Constante de proporcionalidade da força de resistência: b.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência
xy com origem no ponto de lançamento. A velocidade inicial pode ser
escrita em termos das componentes nas direções
i e
j
\[
\begin{gather}
\mathbf{v}_0=v_{0x}\;\mathbf i+v_{0y}\;\mathbf j
\end{gather}
\]
Pela Figura 2 a velocidade inicial pode se decomposta ao longo dos eixos
x e
y
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{v_{0x}}{v_0}\Rightarrow v_{0x}=v_0\cos\theta \tag{I}\\[10pt]
\operatorname{sen}\theta=\frac{v_{0y}}{v_0}\Rightarrow v_{0y}=v_0\operatorname{sen}\theta \tag{II}
\end{gather}
\]
Solução:
Aplicando a 2.ª Lei de Newton ao projétil (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F=m\dot{v}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
-{\mathbf P}-{\mathbf F}_{R}=m\dot{v}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf P=m\mathbf{g}}
\end{gather}
\]
a força de resistência é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F_{R}=-b\mathbf{v}}
\end{gather}
\]
substituindo estas expressões
\[
\begin{gather}
-m\mathbf{g}-b\mathbf{v}=m\mathbf{\dot{v}} \\[5pt]
-mg\;\mathbf j-b(v_{x}\;\mathbf i+v_{y}\;\mathbf j)=m({\dot{v}}_{x}\;\mathbf i+{\dot{v}}_{y}\;\mathbf j) \\[5pt]
-mg\;\mathbf j-bv_{x}\;\mathbf i-bv_{y}\;\mathbf j=m{\dot{v}}_{x}\;\mathbf i+m{\dot{v}}_{y}\;\mathbf j
\end{gather}
\]
onde vx e vy são as componentes da velocidade nas direções i
e j.
Separando as componentes e escrevendo
\( {\dot{v}}_{x}=\frac{dv_{x}}{dt} \):
\[
\begin{gather}
-bv_{x}=m{\dot{v}}_{x} \\[5pt]
-bv_{x}=m\frac{dv_{x}}{dt} \\[5pt]
\frac{dv_{x}}{v_{x}}=-{\frac{b}{m}}dt
\end{gather}
\]
integrando de ambos os lados da igualdade, a velocidade varia da velocidade inicial na direção i,
v0x, até a velocidade num instante qualquer vx(t), e o
tempo varia do instante inicial 0 até t um instante qualquer
\[
\begin{gather}
\int_{v_{0x}}^{{v_{x}(t)}}\frac{dv_{x}}{v_{x}}=\int_0^{t}-\frac{b}{m}dt \\[5pt]
\int_{v_{0x}}^{{v_{x}(t)}}\frac{dv_{x}}{v_{x}}=-{\frac{b}{m}}\int_0^{t}dt
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_{v_{0x}}^{{v_{x}(t)}}\frac{dv_{x}}{v_{x}} \)
\[
\begin{gather}
\int_{v_{0x}}^{{v_{x}(t)}}\frac{dv_{x}}{v_{x}}=\left.\ln v_{x}\right|_{v_{0x}}^{v_{x}(t)}=\ln v_{x}(t)-\ln v_{0x}=\ln\left(\frac{v_{x}(t)}{v_{0x}}\right)
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{t}dt \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{t}dt=\left.t\;\right|_{\;0}^{\;t}=t-0=t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\ln\left(\frac{v_{x}(t)}{v_{0x}}\right)=-{\frac{b}{m}}t \\[5pt]
\frac{v_{x}(t)}{v_{0x}}=\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
v_{x}(t)=v_{0x}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (I) para a velocidade inicial v0x
\[
\begin{gather}
v_{x}(t)=v_0\cos\theta\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \tag{III}
\end{gather}
\]
Usando
\( v_{x}=\frac{dx}{dt} \),
substituindo na expressão da velocidade acima encontramos a equação do movimento
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=v_0\cos\theta\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
dx=v_0\cos\theta\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\;dt
\end{gather}
\]
integrando de ambos os lados, a posição varia da posição inicial 0 até a posição num instante qualquer,
x(t), e o tempo varia do instante inicial 0 até t um instante qualquer
\[
\begin{gather}
\int_0^{{x(t)}}dx=\int_0^{t}v_0\cos\theta\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt
\end{gather}
\]
na integral do lado direito da igualdade o termo
\( v_0\cos\theta \)
é constante e pode “sair' da integral
\[
\begin{gather}
\int_0^{{x(t)}}dx=v_0\cos\theta \int_0^{t}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{{x(t)}}dx \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{{x(t)}}dx=\left.x\;\right|_{\;0}^{\;x(t)}=x(t)-0=x(t)
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{t}\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{align}
& u=-{\frac{b}{m}}t \\
& \frac{du}{dt}=-{\frac{b}{m}}\Rightarrow dt=-{\frac{m}{b}}du
\end{align}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
\( t=0 \)
temos
\( u=-{\frac{b}{m}}\times 0=0 \)
para
\( t=t \)
temos
\( u=-{\frac{b}{m}}t \)
substituindo na integral
\[
\begin{split}
\int_0^{-{\frac{b}{m}}t}\;\operatorname{e}^{u}\left(-{\frac{m}{b}}\right)du &=-{\frac{m}{b}}\int_0^{-{\frac{b}{m}}t}\;\operatorname{e}^{u}du=-{\frac{m}{b}}\left.\;\operatorname{e}^{u}\;\right|_0^{-{\frac{b}{m}}t}= \\[5pt]
&=-\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\operatorname{e}^{0}\right)=-{\frac{m}{b}}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)
\end{split}
\]
\[
\begin{gather}
x(t)=v_0\cos\theta\left[-{\frac{m}{b}}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)\right] \\[5pt]
x(t)=\frac{m}{b}v_0\cos\theta\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right) \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
-mg-bv_{y}=m{\dot{v}}_{y} \\[5pt]
-mg-bv_{y}=m\frac{dv_{y}}{dt} \\[5pt]
-b\left(\frac{mg}{b}+v_{y}\right)=m\frac{dv_{y}}{dt} \\[5pt]
\frac{dv_{y}}{\frac{mg}{b}+v_{y}}=-{\frac{b}{m}}dt
\end{gather}
\]
integrando de ambos os lados, a velocidade varia da velocidade inicial v0y, até
a velocidade num instante qualquer vy(t), e o tempo varia do instante inicial 0
até t um instante qualquer
\[
\begin{gather}
\int_{v_{0y}}^{{v_{y}(t)}}\frac{dv_{y}}{\left(\frac{mg}{b}+v_{y}\right)}=\int_0^{t}-\frac{b}{m}dt \\[5pt]
\int_{v_{0y}}^{{v_{y}(t)}}\frac{dv_{y}}{\left(\frac{mg}{b}+v_{y}\right)}=-{\frac{b}{m}}\int_0^{t}dt
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_{v_{0y}}^{{v_{y}(t)}}\frac{dv_{y}}{\left(\frac{mg}{b}+v_{y}\right)} \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{align}
& u=\frac{mg}{b}+v_{y} \\
& \frac{du}{dv}=0+1\Rightarrow du=dv_{y}
\end{align}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
\( v_{y}=v_{0y} \)
temos
\( u=\frac{mg}{b}+v_{0y} \)
para
\( v_{y}=v_{y}(t) \)
temos
\( u=\frac{mg}{b}+v_{y}(t) \)
substituindo na integral
\[
\begin{split}
\int_{\frac{{mg}}{b}+v_{0y}}^{\frac{{mg}}{b}+v_{y}(t)}\frac{du}{u} &=\left.\ln u\right|_{\frac{{mg}}{b}+v_{0y}}^{\frac{{mg}}{b}+v_{y}(t)}=\ln\left(\frac{mg}{b}+v_{y}(t)\right)-\ln\left(\frac{mg}{b}+v_{0y}\right)= \\[5pt]
&=\ln\left(\frac{\dfrac{mg}{b}+v_{y}(t)}{\dfrac{mg}{b}+v_{0y}}\right)=\ln\left(\frac{\dfrac{mg+bv_{y}(t)}{\cancel{b}}}{\dfrac{mg+bv_{0y}}{\cancel{b}}}\right)= \\[5pt]
&=\ln\left(\frac{mg+bv_{y}(t)}{mg+bv_{0y}}\right)
\end{split}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{t}dt \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{t}dt=\left.t\;\right|_{\;0}^{\;t}=t-0=t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\ln\left(\frac{mg+bv_{y}(t)}{mg+bv_{0y}}\right)=-{\frac{b}{m}}t \\[5pt]
\frac{mg+bv_{y}(t)}{mg+bv_{0y}}=\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
mg+bv_{y}(t)=(mg+bv_{0y})\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
bv_{y}(t)=(mg+bv_{0y})\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-mg \\[5pt]
v_{y}(t)=\frac{1}{b}(mg+bv_{0y})\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) para a velocidade inicial v0y
\[
\begin{gather}
v_{y}(t)=\frac{1}{b}(mg+bv_0\operatorname{sen}\theta)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b} \tag{V}
\end{gather}
\]
Usando
\( v_{y}=\frac{dy}{dt} \),
substituindo este valor na expressão da velocidade acima encontramos a equação do movimento
\[
\begin{gather}
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{b}(mg+bv_0\operatorname{sen}\theta)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b} \\[5pt]
dy=\left[\frac{1}{b}(mg+bv_0\operatorname{sen}\theta)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b}\right]dt
\end{gather}
\]
integrando de ambos os lados, a posição do lado esquerdo varia da posição inicial 0 até a posição num
instante qualquer y(t), e o tempo entre o instante inicial 0 e um instante qualquer t
\[
\begin{gather}
\int_0^{{y(t)}}dy=\int_0^{t}\frac{1}{b}(mg+bv_{y}\operatorname{sen}\theta)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt-\int_0^{t}\frac{mg}{b}dt
\end{gather}
\]
na primeira integral do lado direito o termo
\( \frac{1}{b}(mg+bv_{y}\operatorname{sen}\theta ) \)
e na segunda integral o termo
\( \frac{mg}{b} \)
são constantes e podem “sair' da integral
\[
\begin{gather}
\int_0^{{y(t)}}dy=\frac{1}{b}(mg+bv_{y}\operatorname{sen}\theta)\int_0^{t}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt-\frac{mg}{b}\int_0^{t}dt
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{{y(t)}}dy \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{{y(t)}}dy=\left.y\;\right|_{\;0}^{\;y(t)}=y(t)-0=y(t)
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{t}\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{align}
& u=-{\frac{b}{m}}t \\
& \frac{du}{dt}=-{\frac{b}{m}}\Rightarrow dt=-{\frac{m}{b}}du
\end{align}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
\( t=0 \)
temos
\( u=-{\dfrac{b}{m}}\times 0=0 \)
para
\( t=t \)
temos
\( u=-{\dfrac{b}{m}}t \)
substituindo na integral
\[
\begin{split}
\int_0^{-{\frac{b}{m}}t}\;\operatorname{e}^{u}\left(-{\frac{m}{b}}\right)du &=-{\frac{m}{b}}\int_0^{-{\frac{b}{m}}t}\;\operatorname{e}^{u}du=-{\frac{m}{b}}\left.\;\operatorname{e}^{u}\;\right|_0^{-{\frac{b}{m}}t}= \\[5pt]
&=-\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\operatorname{e}^{0}\right)=-{\frac{m}{b}}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)
\end{split}
\]
A integral em dt já foi calculada acima.
\[
\begin{gather}
y(t)=\frac{1}{b}(mg+bv_{y}\operatorname{sen}\theta)\left[-{\frac{m}{b}}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)\right]-\frac{mg}{b}t \\[5pt]
y(t)=\frac{m}{b^{2}}(mg+bv_{y}\operatorname{sen}\theta)\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)-\frac{mg}{b}t \tag{VI}
\end{gather}
\]
A velocidade será
\[
\mathbf{v}(t)=v_{x}(t)\;\mathbf i+v_{y}(t)\;\mathbf j
\]
substituindo as expressões (III) e (V)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{v}(t)=v_0\cos\theta\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\;\mathbf i+\left[\frac{1}{b}(mg+bv_0\operatorname{sen}\theta)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b}\right]\;\mathbf j}
\]
A posição será
\[
\begin{gather}
\mathbf{\text{r}}(t)=x(t)\;\mathbf i+y(t)\;\mathbf j
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IV) e (VI)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{\text{r}}(t)=\frac{m}{b}v_0\cos\theta\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)\;\mathbf i+\left[\frac{m}{b^{2}}(mg+bv_{y}\operatorname{sen}\theta)\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)-\frac{mg}{b}t\right]\;\mathbf j}
\end{gather}
\]
EN
