Uma partícula de massa m é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v0
e sobe sob ação de uma força de resistência proporcional a velocidade. Determinar:
a) A equação da velocidade em função do tempo;
b) A equação da posição em função do tempo;
c) A altura máxima atingida pela partícula.
Dados do problema:
- Massa da partícula: m;
- Velocidade inicial da partícula: v0;
- Constante de proporcionalidade da força de resistência: b.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência orientado para cima com origem no ponto onde a partícula é lançada.
Atuam na partícula a força peso P e a força de resistência FR que se
opõem ao movimento (Figura 1).
Solução:
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton à partícula, escrevemos
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F=m\mathbf{\dot v}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
-\mathbf P-\mathbf F_R=m\mathbf{\dot v}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf P=m\mathbf g}
\end{gather}
\]
a força de resistência é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F_R=b\mathbf v}
\end{gather}
\]
substituindo estas expressões
\[
\begin{gather}
-mg\;\mathbf j-bv\;\mathbf j=m\dot v\;\mathbf j
\end{gather}
\]
como só existe movimento em uma dimensão temos em módulo
\[
\begin{gather}
-mg-bv=m\dot v
\end{gather}
\]
escrevendo
\( \dot v=\frac{dv}{dt} \)
e separando as variáveis
\[
\begin{gather}
-mg-bv=m\frac{dv}{dt} \\[5pt]
m\frac{dv}{dt}=-b\left(\frac{mg}{b}+v\right) \\[5pt]
\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}+v\right)}=-{\frac{b}{m}}dt
\end{gather}
\]
integrando a velocidade do lado esquerdo de v0 a v(t), a velocidade num
instante t qualquer, e do lado direito integrando o tempo de 0 a t, um instante qualquer
\[
\begin{gather}
\int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}+v\right)}=\int_0^{t}-\frac{b}{m}dt \\[5pt]
\int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}+v\right)}=-{\frac{b}{m}}\int_0^{t}dt
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}+v\right)} \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{align}
& u=\frac{mg}{b}+v \\
& \frac{du}{dv}=0+1\Rightarrow du=dv
\end{align}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
\( v=v_0 \)
temos
\( u=\dfrac{mg}{b}+v_0 \)
para
\( v=v(t) \)
temos
\( u=\dfrac{mg}{b}+v(t) \)
substituindo na integral
\[
\begin{split}
\int_{\frac{{mg}}{b}+v_0}^{\frac{{mg}}{b}+v(t)}\frac{du}{u} &=\left.\ln u\right|_{\frac{{mg}}{b}+v_0}^{\frac{{mg}}{b}+v(t)}=\ln\left(\frac{mg}{b}+v(t)\right)-\ln\left(\frac{mg}{b}+v_0\right)= \\[5pt]
&=\ln\left(\frac{\dfrac{mg}{b}+v(t)}{\dfrac{mg}{b}+v_0}\right)=\ln\left(\frac{\dfrac{mg+bv(t)}{\cancel b}}{\dfrac{mg+bv_0}{\cancel b}}\right)= \\[5pt]
&=\ln\left(\frac{mg+bv(t)}{mg+bv_0}\right)
\end{split}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{t}dt \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{t}dt=\left.t\;\right|_{\;0}^{\;t}=t-0=t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\ln\left(\frac{mg+bv(t)}{mg+bv_0}\right)=-{\frac{b}{m}}t \\[5pt]
\frac{mg+bv(t)}{mg+bv_0}=\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
mg+bv(t)=(mg+bv_0)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
bv(t)=(mg+bv_0)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-mg
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v(t)=\frac{1}{b}(mg+bv_0)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b}}
\end{gather}
\]
b) Sendo
\( \dot{x}=\frac{dx}{dt} \),
a equação da velocidade encontrada acima fica
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{b}(mg+bv_0)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b} \\[5pt]
dx=\left[\frac{1}{b}(mg+bv_0)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b}\right]dt
\end{gather}
\]
integrando a posição do lado esquerdo de 0 a x(t), a posição num instante qualquer, e do lado direito
integrando o tempo de 0 a t, um instante qualquer. A integral da diferença é a diferença das integrais
\[
\begin{gather}
\int_0^{x(t)}dx=\int_0^{t}\frac{1}{b}(mg+bv_0)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt-\int_0^{t}\frac{mg}{b}dt
\end{gather}
\]
na primeira integral o termo
\( \dfrac{1}{b}(mg+bv_0) \)
e na segunda integral o termo
\( \dfrac{mg}{b} \)
são constantes e podem “sair' da integral
\[
\begin{gather}
\int_0^{x(t)}dx=\frac{1}{b}(mg+bv_0)\int_0^{t}\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt-\frac{mg}{b}\int_0^{t}dt
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{x(t)}dx \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{x(t)}dx=\left.x\;\right|_{\;0}^{\;x(t)}=x(t)-0=x(t)
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{t}\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}dt \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{align}
& u=-{\frac{b}{m}}t \\
& \frac{du}{dt}=-{\frac{b}{m}}\Rightarrow dt=-{\frac{m}{b}}du
\end{align}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
\( t=0 \)
temos
\( u=-{\dfrac{b}{m}}\times 0=0 \)
para
\( t=t \)
temos
\( u=-{\dfrac{b}{m}}t \)
substituindo na integral
\[
\begin{split}
\int_0^{-{\frac{b}{m}}t}\;\operatorname{e}^{u}\left(-{\frac{m}{b}}\right)du &=-{\frac{m}{b}}\int_0^{-{\frac{b}{m}}t}\;\operatorname{e}^{u}du=-{\frac{m}{b}}\left.\;\operatorname{e}^{u}\;\right|_0^{-{\frac{b}{m}}t}= \\[5pt]
&=-\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\operatorname{e}^{0}\right)=-{\frac{m}{b}}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)
\end{split}
\]
A integral em dt já foi calculada acima.
\[
\begin{gather}
x(t)=\frac{1}{b}(mg+bv_0)\left[-{\frac{m}{b}}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)\right]-\frac{mg}{b}t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=-{\frac{m}{b^{2}}}(mg+bv_0)\left[\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right]-\frac{mg}{b}t}
\end{gather}
\]
c) Quando a partícula atinge a altura máxima a velocidade dela se anula, v(t) = 0, substituindo
este valor na expressão do item (a) obtemos o tempo de subida da partícula
\[
\begin{gather}
0=\frac{1}{b}(mg+bv_0)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\frac{mg}{b} \\[5pt]
\frac{1}{b}(mg+bv_0)\;\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}=\frac{mg}{b} \\[5pt]
\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}=\frac{mg}{mg+bv_0} \\[5pt]
-{\frac{b}{m}}t=\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right) \\[5pt]
t=-{\frac{m}{b}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right)
\end{gather}
\]
substituindo este valor na expressão do item (b) temos a altura máxima da partícula
\[
\begin{gather}
x(t)=-{\frac{m}{b^{2}}}(mg+bv_0)\left[\exp\left(-{\frac{b}{m}}\left(-{\frac{m}{b}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right)\right)\right)-1\right]-\frac{mg}{b}\left(-{\frac{m}{b}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right)\right) \\[5pt]
x(t)=-{\frac{m}{b^{2}}}(mg+bv_0)\left[\exp\left(\frac{b}{m}\frac{m}{b}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right)\right)-1\right]+\frac{mg}{b}\frac{m}{b}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right) \\[5pt]
x(t)=-{\frac{m}{b^{2}}}(mg+bv_0)\left[\exp\left(\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right)\right)-1\right]+\frac{m^{2}g}{b^{2}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right) \\[5pt]
x(t)=-{\frac{m}{b^{2}}}(mg+bv_0)\left[\frac{mg}{mg+bv_0}-1\right]+\frac{m^{2}g}{b^{2}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right) \\[5pt]
x(t)=-{\frac{m}{b^{2}}}(mg+bv_0)\left[\frac{mg-(mg+bv_0)}{mg+bv_0}\right]+\frac{m^{2}g}{b^{2}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right) \\[5pt]
x(t)=-{\frac{m}{b^{2}}}(mg+bv_0)\left[\frac{mg-mg-bv_0}{mg+bv_0}\right]+\frac{m^{2}g}{b^{2}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right) \\[5pt]
x(t)=-{\frac{m}{b^{2}}}(mg+bv_0)\left[\frac{-bv_0}{mg+bv_0}\right]+\frac{m^{2}g}{b^{2}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right) \\[5pt]
x(t)=\frac{mv_0}{b}+\frac{m^{2}g}{b^{2}}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=\frac{m}{b}\left[v_0+\frac{mg}{b}\ln\left(\frac{mg}{mg+bv_0}\right)\right]}
\end{gather}
\]
EN
