Uma partícula de massa m é abandonada em repouso, cai sob ação do seu peso e sofre uma força de
resistência proporcional a velocidade de queda. Determinar:
a) A equação da velocidade em função do tempo;
b) A velocidade terminal;
c) A equação da posição em função do tempo;
d) A aceleração do movimento.
Dados do problema:
- Massa da partícula: m;
- Velocidade inicial da partícula: v0 = 0;
- Constante de proporcionalidade da força de resistência: b.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência orientado para baixo com origem no ponto onde a partícula é abandonada.
Atuam na partícula a força peso P no sentido da queda e a força de resistência
FR que se opõe ao movimento.
Solução:
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F=m\mathbf{\dot v}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf P-\mathbf F_R=m\mathbf{\dot v}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf P=m\mathbf g}
\end{gather}
\]
e a força de resistência é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F_R=b\mathbf v}
\end{gather}
\]
substituindo estas expressões
\[
\begin{gather}
mg\;\mathbf j-bv\;\mathbf j=m {\dot v}\;\mathbf j
\end{gather}
\]
como só existe movimento em uma dimensão temos em módulo
\[
\begin{gather}
mg-bv=m\dot v
\end{gather}
\]
escrevendo
\( {\dot v}=\frac{dv}{dt} \)
e separando as variáveis
\[
\begin{gather}
mg-bv=m\frac{dv}{dt} \\[5pt]
m\frac{dv}{dt}=b\left(\frac{mg}{b}-v\right) \\[5pt]
\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}-v\right)}=\frac{b}{m}dt
\end{gather}
\]
integrando a velocidade do lado esquerdo de 0 a v(t), a velocidade num instante t
qualquer, e do lado direito integrando o tempo de 0 a t, um instante qualquer
\[
\begin{gather}
\int_0^{v(t)}{\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}-v\right)}}=\int_0^{t}{\frac{b}{m}dt} \\[5pt]
\int_0^{v(t)}{\frac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}-v\right)}}=\frac{b}{m}\int_0^{t}{dt}
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{v(t)}{\dfrac{dv}{\left(\dfrac{mg}{b}-v\right)}} \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\dfrac{mg}{b}-v \\
\dfrac{du}{dv}=-1\Rightarrow dv=-du
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
\( v=0 \)
temos
\( u=\dfrac{mg}{b} \)
para
\( v=v(t) \)
temos
\( u=\dfrac{mg}{b}-v(t) \)
substituindo na integral
\[
\begin{split}
\int_{{\frac{mg}{b}}}^{{\frac{mg}{b}-v(t)}}{\frac{-du}{u}} &=-\left[\left.\ln u\;\right|_{\;\frac{mg}{b}}^{\;\frac{mg}{b}-v(t)}\right]=-\left[\ln\left(\frac{mg}{b}-v(t)\right)-\ln\left(\frac{mg}{b}\right)\right]= \\[5pt]
&=-\ln\left(\frac{\dfrac{mg}{b}-v(t)}{\dfrac{mg}{b}}\right)=-\ln\left(\frac{\dfrac{mg-bv(t)}{\cancel b}}{\dfrac{mg}{\cancel b}}\right)= \\[5pt]
&=-\ln\left(\frac{mg-bv(t)}{mg}\right)
\end{split}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{t}{dt'} \)
\[
\int_0^{t}{dt'}=\left.t'\;\right|_{\;0}^{\;t}=t-0=t
\]
\[
\begin{gather}
-\ln\left(\frac{mg-bv(t)}{mg}\right)=\frac{b}{m}t \\[5pt]
\ln\left(\frac{mg-bv(t)}{mg}\right)=-{\frac{b}{m}}t \\[5pt]
\frac{mg-bv(t)}{mg}=\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
mg-bv(t)=mg\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
bv(t)=mg-mg\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t} \\[5pt]
bv(t)=mg\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v(t)=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)}
\end{gather}
\]
b) A velocidade terminal será encontrada fazendo o limite da expressão da velocidade quando
\( t\rightarrow \infty \)
\[
\begin{split}
v_T=\underset{t\rightarrow \infty }{\lim}v(t) &=\underset{t\rightarrow \infty }{\lim}{\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)}=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}\infty}\right)= \\[5pt]
&=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-\infty}\right)=\frac{mg}{b}\left(1-\frac{1}{\operatorname{e}^{\infty}}\right)= \\[5pt]
&=\frac{mg}{b}\left(1-\frac{1}{\infty}\right)=\frac{mg}{b}\left(1-0\right)
\end{split}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_T=\frac{mg}{b}}
\end{gather}
\]
c) Sendo
\( v=\frac{dx}{dt} \)
a equação da velocidade acima por ser escrita
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right) \\[5pt]
dx=\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)dt
\end{gather}
\]
integrando a posição do lado esquerdo de 0 a x(t), a posição num instante t qualquer, e do
lado direito integrando o tempo de 0 a t, um instante qualquer
\[
\begin{gather}
\int_0^{x(t)}{dx}=\int_0^{t}{\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}t}}\right)dt} \\[5pt]
\int_0^{x(t)}{dx}=\frac{mg}{b}\left(\int_0^{t}dt-\int_0^{t}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}t}}dt\right)
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{x(t)}{dx} \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{x(t)}{dx}=\left.x\;\right|_{\;0}^{\;x(t)}=x(t)-0=x(t)
\end{gather}
\]
A integral de
\( \displaystyle \int_0^{t}{dt} \)
já foi calculada acima.
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{t}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}t}}dt \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=-{\dfrac{b}{m}}t \\
\dfrac{du}{dt}=-{\dfrac{b}{m}}\Rightarrow dt=-{\dfrac{m}{b}}du
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
\( t=0 \)
temos
\( u=-{\dfrac{b}{m}}\times 0=0 \)
para
\( t=t \)
temos
\( u=-{\dfrac{b}{m}}t \)
\[
\begin{split}
\int_0^{{-{\frac{b}{m}}t}}-{\frac{m}{b}}\operatorname{e}^{u}du &=-\frac{m}{b}\int_0^{{-{\frac{b}{m}}t}}\operatorname{e}^{u}du\Rightarrow-\frac{m}{b}\left(\left.\operatorname{e}^{u}\;\right|_{\;0}^{\;-\frac{b}{m}t}\right)\Rightarrow \\[5pt]
&\Rightarrow -\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-\operatorname{e}^{0}\right)\Rightarrow-\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)= \\[5pt]
&=\frac{m}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)
\end{split}
\]
\[
\begin{gather}
x(t)=\frac{mg}{b}\left[t-\frac{m}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=\frac{mg}{b}\left[t+\frac{m}{b}\left(\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}-1\right)\right]}
\end{gather}
\]
d) A aceleração é encontrada derivando a expressão da velocidade
\( a=\frac{dv}{dt} \)
\[
\begin{gather}
a(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{mg}{b}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right)\right] \\[5pt]
a(t)=\frac{mg}{b}\frac{d}{dt}\left(1-\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right) \\[5pt]
a(t)=\frac{mg}{b}\left[0-\left(-{\frac{b}{m}}\right)\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}\right] \\[5pt]
a(t)=\frac{\cancel{m}g}{\cancel b}\frac{\cancel b}{\cancel{m}}\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a(t)=g\operatorname{e}^{-{\frac{b}{m}}t}}
\end{gather}
\]
EN
