Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um corpo, de massa igual à 2 kg com velocidade inicial de 10 m/s no sentido positivo, está sob a ação de uma força variável em função da posição, dada por
\[ \begin{gather} F_x=-8x \qquad\qquad\text{unidades (S.I.)} \end{gather} \]
Qual será a distância percorrida por esse corpo até que sua velocidade seja igual à zero?



Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m = 2 kg;
  • Velocidade inicial do corpo:    v0 = 10.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com eixo-x orientado para a direita e eixo-y para cima (Figura 1).

Figura 1

A força dada é negativa, é uma força de resistência que está na direção oposta do movimento. A força atua diminuindo a velocidade do corpo até que sua velocidade final seja igual a zero.

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton na direção x, a força dada no problema é a única força nesta direção
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf F=m\frac{d\mathbf v}{dt}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_x=m\frac{dv_x}{dt}\\[5pt] -8x=2\frac{dv_x}{dt} \end{gather} \]
multiplicando e dividindo o lado direito da equação por dx
\[ \begin{gather} -4x=\frac{dv_x}{dt}\frac{dx}{dx} \end{gather} \]
invertendo a ordem dos termos de integração no denominador
\[ \begin{gather} -4x=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt} \end{gather} \]
aplicando a definição da velocidade
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\frac{dx}{dt}} \end{gather} \]
integrando em dx de ambos os lados da igualdade
\[ \begin{gather} \int -4x\;dx=\int v_x\frac{dv_x}{dx}\;dx\\[5pt] \int-4x\;dx=\int v_x\;dv_x \end{gather} \]
o fator constante (−4) sai da integral do lado esquerdo. Os extremos de integração são 0, posição inicial, até x um instante qualquer em dx, e 10 m/s, velocidade inicial, até 0, velocidade final em dvx.
\[ \begin{gather} -4\int_0^x x'\;dx'=\int_{10}^0 v_x\;dv_x \end{gather} \]

Integral de    \( \displaystyle \int_0^x x'\;dx' \)
\[ \begin{gather} \int_0^x x'\;dx'=\left.\frac{x^{1+1}}{1+1}\right|_0^x =\frac{x^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{x^2}{2} \end{gather} \]

Integral de    \( \displaystyle \int_{10}^0v_x\;dv_x \)
\[ \begin{gather} \int_{10}^0 v_x\;dv_x=\left.\frac{v_x^{1+1}}{1+1}\right|_{10}^0=\frac{0^2}{2}-\frac{10^2}{2}=\frac{100}{2}=50 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} -\cancelto{2}{4}\times\frac{x^2}{\cancel 2}=-50\\[5pt] x^2=\frac{-50}{-2}\\[5pt] x=\sqrt{25\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {x=5\;\mathrm m} \end{gather} \]
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