Um corpo, de massa igual à 2 kg com velocidade inicial de 10 m/s no sentido positivo, está sob a ação
de uma força variável em função da posição, dada por
\[
\begin{gather}
F_x=-8x \qquad\qquad\text{unidades (S.I.)}
\end{gather}
\]
Qual será a distância percorrida por esse corpo até que sua velocidade seja igual à zero?
Dados do problema:
- Massa do corpo: m = 2 kg;
- Velocidade inicial do corpo: v0 = 10.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência com eixo-x orientado para a direita e eixo-y para cima (Figura 1).
A força dada é negativa, é uma força de resistência que está na direção oposta do movimento. A força atua
diminuindo a velocidade do corpo até que sua velocidade final seja igual a zero.
Solução:
Aplicando a 2.ª Lei de Newton na direção x, a força dada no problema é a única força nesta direção
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F=m\frac{d\mathbf v}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_x=m\frac{dv_x}{dt} \\[5pt]
-8x=2\frac{dv_x}{dt}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo o lado direito da equação por dx
\[
\begin{gather}
-4x=\frac{dv_x}{dt}\frac{dx}{dx}
\end{gather}
\]
invertendo a ordem dos termos de integração no denominador
\[
\begin{gather}
-4x=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt}
\end{gather}
\]
aplicando a definição da velocidade
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
integrando em dx de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
\int -4x\;dx=\int v_x\frac{dv_x}{dx}\;dx \\[5pt]
\int-4x\;dx=\int v_x\;dv_x
\end{gather}
\]
o fator constante (−4) sai da integral do lado esquerdo. Os extremos de integração são 0, posição
inicial, até x um instante qualquer em dx, e 10 m/s, velocidade inicial, até 0, velocidade
final em dvx.
\[
\begin{gather}
-4\int_0^x x'\;dx'=\int_{10}^0 v_x\;dv_x
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^x x'\;dx' \)
\[
\begin{gather}
\int_0^x x'\;dx'=\left.\frac{x^{1+1}}{1+1}\right|_0^x =\frac{x^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{x^2}{2}
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{10}^0v_x\;dv_x \)
\[
\begin{gather}
\int_{10}^0 v_x\;dv_x=\left.\frac{v_x^{1+1}}{1+1}\right|_{10}^0=\frac{0^2}{2}-\frac{10^2}{2}=\frac{100}{2}=50
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
-\cancelto{2}{4}\times\frac{x^2}{\cancel 2}=-50 \\[5pt]
x^2=\frac{-50}{-2} \\[5pt]
x=\sqrt{25\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=5\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
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