Um sistema é formado por um corpo de massa m1, suspenso verticalmente, ligado a um corpo de massa m², apoiado sobre um plano inclinado de um ângulo α, que por sua vez está ligado a um corpo de massa m₃, apoiado sobre um plano inclinado de um ângulo β. A ligação entre os corpos é feita por cordas inextensíveis de massas desprezíveis e através de polias ideais sem atrito. Sabendo que m₁ = 2m₂, pergunta-se, qual deve ser a razão das massas m₂ para m₃ de tal modo que o sistema desça com aceleração constante a.

Dados do problema:

• Massa do corpo 1: m₁;
• Massa do corpo 2: m₂;
• Massa do corpo 3: m₃;
• Razão entre as massas 1 e 2: m₁ = 2m₂;
• Ângulo do plano inclinado do corpo 2: α;
• Ângulo do plano inclinado do corpo 3: β.

Esquema do problema:

Isolando os corpos e pesquisando as forças em cada um deles

Bloco 1 (Figura 1):

• P₁: força peso;
• T₁₂: tração na corda entre os corpos 1 e 2.

Figura 1

Bloco 2 (Figura 2-A):

• P₂: peso do bloco 2;
• N₂: reação normal do plano sobre o bloco 2;
• T₁₂: tração na corda entre os blocos 1 e 2;
• T₂₃: tração na corda entre os blocos 2 e 3.

Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x na direção do plano inclinado e sentido descendente. A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x (P_2P) e a outra normal ou perpendicular (P_2N). Da Figura 2-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é &lapha;, como os ângulos internos de um triângulo devem somar π o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser   \( \displaystyle \alpha +\gamma +\frac{\pi}{2}=\pi \Rightarrow \gamma =\pi -\alpha-\frac{\pi}{2}\Rightarrow \gamma =\frac{\pi}{2}-\alpha \).

Figura 2

As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à direita temos que o ângulo entre a força peso e a componente do peso na direção y é   \( \displaystyle \delta =\frac{\pi}{2}-\gamma \Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)\Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+\alpha \Rightarrow \delta =\alpha \).

Bloco 3 (Figura 3-A):

• P₃: peso do bloco 3;
• N₃: reação normal do plano sobre o bloco 3;
• T₂₃: tração na corda entre os blocos 2 e 3.

Adotamos um sistema de referência com a mesma orientação do bloco anterior. A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x (P_3P) e a outra normal ou perpendicular (P_3N). Da Figura 3-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é β, como os ângulos internos de um triângulo devem somar π o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser   \( \displaystyle \beta +\gamma +\frac{\pi}{2}=\pi \Rightarrow \gamma =\pi -\beta-\frac{\pi}{2}\Rightarrow \gamma =\frac{\pi}{2}-\beta \).

Figura 3

As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à direita temos que o ângulo entre a força peso e a componente do peso na direção y é   \( \displaystyle \delta =\frac{\pi}{2}-\gamma \Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\beta \right)\Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+\beta \Rightarrow \delta =\beta \).

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

Para a Figura 1 adotamos o sentido positivo para baixo no mesmo sentido da aceleração. Na direção horizontal não há forças atuando no bloco, na direção vertical aplicando a expressão (I)

onde

\( \mathbf P_1=m_1g\;\mathbf j \)
\( \mathbf T_{12}=T_{12}\;\mathbf j \)
\( {\mathbf a}=a\;\mathbf j \)

assim

como só existem componentes na direção j, em módulo

Da Figura 2-C aplicando a expressão (I)

onde

\( {\mathbf N}_2=N_2\;\mathbf j \)
\( \mathbf T_{12}=T_{12}\;\mathbf i \)
\( \mathbf P_{2P}=m_2g\operatorname{sen}\alpha\;\mathbf i \)
\( \mathbf P_{2N}=-m_2g\cos\alpha\;\mathbf j \)
\( \mathbf T_{23}=-T_{23}\;\mathbf i \)


assim

Separando as equações nas direções i e j

Da Figura 3-C aplicando a expressão (I)

onde

\( {\mathbf N}_3=N_3\;\mathbf j \) \( \mathbf T_{23}=T_{23}\;\mathbf i \) \( \mathbf P_{3P}=m_3g\operatorname{sen}\beta\;\mathbf i \) \( \mathbf P_{3N}=-m_3g\cos\beta\;\mathbf j \)

assim

Separando as equações nas direções i e j

Somando as expressões (II), (III) e (IV)

Usando a relação dada no problema entre as massas dos corpos 1 e 2, m₁ = 2m₂, reescrevemos a expressão acima como