Exercício Resolvido de Dinâmica
publicidade   



Um corpo de massa m está suspenso por uma corda, inextensível e de massa desprezível, na ponta de um suporte em forma de L invertido verticalmente, com a barra horizontal medindo D, conforme figura. Este conjunto gira em torno do eixo vertical do suporte. Sendo L o comprimento da corda e g a aceleração local da gravidade, determine a velocidade angular com que o conjunto deve girar para que o ângulo θ que a corda forma com a vertical seja 90°.


Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m;
  • Comprimento da corda:    L;
  • Comprimento do suporte horizontal:    D;
  • Aceleração local da gravidade:    g.
Esquema do problema:

A massa m está sob a ação da força peso (P) e da tração (T) na corda. Como o corpo realiza um movimento circular ele está sob a ação da aceleração centrípeta (acp), apontada radialmente para o centro da trajetória. O ângulo entre a tração na corda e a vertical passando pelo corpo será θ, mesmo ângulo que temos entre a corda L e a vertical, pois estes ângulos são alternos internos.
Figura 1

Solução

Desenhando as forças que atuam no corpo num sistema de eixos coordenados (Figura 2) e aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{F}=m\mathbf{a}} \]
\[ \begin{gather} \mathbf{T}-\mathbf{P}=m\mathbf{a}\\ {\mathbf{T}}_{x}+{\mathbf{T}}_{y}-m\mathbf{g}=m\mathbf{a}\\ T_{x}\;\mathbf{i}+T_{y}\;\mathbf{j}-mg\;\mathbf{j}=m(a_{x}\;\mathbf{i}+a_{y}\;\mathbf{j})\\ T_{x}\;\mathbf{i}+T_{y}\;\mathbf{j}-mg\;\mathbf{j}=ma_{x}\;\mathbf{i}+ma_{y}\;\mathbf{j} \end{gather} \]
onde Tx e ax são as componentes da tração e da aceleração na direção i e Ty e ay são as componentes da tração e da aceleração na direção j.

Figura 2

Separando as componentes:
  • Direção i:
\[ \begin{gather} T_{x}=ma_{x} \tag{I} \end{gather} \]
o módulo da componente Tx é dado por
\[ \begin{gather} T_{x}=T\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]
e a componente da aceleração ax é a aceleração centrípeta acp responsável pelo corpo fazer a curva, substituindo esta aceleração e a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} T\operatorname{sen}\theta =ma_{cp} \tag{III} \end{gather} \]
  • Direção j:
\[ \begin{gather} T_{y}-mg=ma_{y} \tag{IV} \end{gather} \]
o módulo da componente Ty é dado por
\[ \begin{gather} T_{y}=T\cos \theta \tag{V} \end{gather} \]
com não existe movimento nesta direção a componente da aceleração é nula (ay = 0), substituindo esta aceleração e a expressão (V) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} T\cos \theta -mg=m.0\\ T\cos \theta -mg=0\\ T\cos \theta=mg \tag{VI} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (III) pela expressão (VI)
\[ \begin{gather} \frac{T\operatorname{sen}\theta }{T\cos \theta}=\frac{ma_{cp}}{mg}\\ \operatorname{tg}\theta=\frac{a_{cp}}{g}\\ a_{cp}=g\operatorname{tg}\theta \tag{VII} \end{gather} \]
O módulo da aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{VIII} \end{gather} \]
a velocidade tangencial v é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{(\omega r)^{2}}{r}\\ a_{cp}=\frac{\omega^{2}r^{\cancel{2}}}{\cancel{r}}\\ a_{cp}=\omega ^{2}r \tag{X} \end{gather} \]
onde r representa a distância do corpo ao eixo de rotação dado pela soma do comprimento do suporte horizontal D e do deslocamento da massa R provocado pela rotação (Figura 3)
\[ \begin{gather} r=D+R \tag{XI} \end{gather} \]
Da Figura 3 podemos escrever a distância R do deslocamento corpo como
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{R}{L}\\ R=L\operatorname{sen}\theta \tag{XII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (XII) na expressão (XI)
\[ \begin{gather} r=D+L\operatorname{sen}\theta \tag{XIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (XIII) na expressão (X) e esta na expressão (VII)
\[ \begin{gather} \omega^{2}(D+L\operatorname{sen}\theta)=g\operatorname{tg}\theta \\ \omega^{2}=\frac{g\operatorname{tg}\theta}{(D+L\operatorname{sen}\theta )}\\ \omega=\left[\frac{g\operatorname{tg}\theta }{D+L\operatorname{sen}\theta}\right]^{\frac{1}{2}} \tag{XIV} \end{gather} \]

Figura 3

Queremos saber a velocidade angular para a qual o ângulo será \( \theta =90°=\frac{\pi}{2} \), para este ângulo o valor da tangente da expressão (XIV) tende ao infinito
\[ \lim _{\theta \to \frac{\pi}{2}}\omega =\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}}\left[\frac{g\operatorname{tg}\theta }{D+L\operatorname{sen}\theta}\right]^{\frac{1}{2}}=\left[\frac{g\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}}{D+L\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}}\right]^{\frac{1}{2}}=\left[\frac{g.\infty}{D+L.1}\right]^{\frac{1}{2}}=\infty \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v=\infty} \]

Observação: Na prática o ângulo nunca chega a 90°, pois para isso seria preciso uma velocidade angular infinita, por mais rápido que se gire o corpo maior será o ângulo que ele forma com a vertical, no entanto nunca ficará perfeitamente horizontal.
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .