Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações
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A haste ABCD ilustrada, gira apoiada em duas articulações esféricas em A e D, no sentido
horário, quando a mesma é observada do ponto de vista da articulação A. A velocidade angular da barra,
no instante considerado, é igual a 12 rad/s, e diminui de forma constante, à razão de 3 rad/s2.
Calcule:
a) O vetor velocidade angular, em rad/s;
b) O vetor aceleração angular, em rad/s2;
c) O vetor velocidade do ponto B, em m/s; d) O vetor aceleração do ponto B, em m/s2.
a) O vetor velocidade angular, em rad/s;
b) O vetor aceleração angular, em rad/s2;
c) O vetor velocidade do ponto B, em m/s; d) O vetor aceleração do ponto B, em m/s2.
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Dados do problema:
- velocidade angular: \( \omega =12\;\text{rad/s} \);
- aceleração angular: \( \alpha =-3\;\text{rad/s} \).
Visto do ponto A o sistema gira no sentido horário com velocidade angular ω e como sua aceleração angular α é negativa ela está no sentido anti-horário (Figura 1).
Solução
Em primeiro lugar vamos converter as dimensões da barra dadas em centímetros para metros usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[
\begin{gather}
\overline{AB}=28\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{10^{2}\;\cancel{\text{cm}}}=28.10^{-2}\;\text{m}=0,28\;\text{m}\\[5pt]
\overline{BC}=18\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{10^{2}\;\cancel{\text{cm}}}=18.10^{-2}\;\text{m}=0,18\;\text{m}\\[5pt]
\overline{CD}=12\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{10^{2}\;\cancel{\text{cm}}}=12.10^{-2}\;\text{m}=0,12\;\text{m}
\end{gather}
\]
a) Vamos encontrar o vetor unitário eAD na direção do eixo AD representado pelo
vetor R em torno do qual o sistema gira em função dos vetores unitários i, j, k. O
vetor r' vai da origem até o ponto A, que tem as coordenadas
\( (x_{A}, y_{A}, z_{A}\;)=(\;0;0,18;0,12) \),
o vetor será
\( \mathbf{r'}=0,18\;\mathbf{j}+0,12\;\mathbf{k} \).
O vetor r vai da origem até o ponto D que tem as coordenadas
\( (x_{D},y_{D},z_{D})=(\;0,28;0;0\;) \),
o vetor será
\( \mathbf{r}=0,28\;\mathbf{i} \).
O vetor R será (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r'}\\
\mathbf{R}=0,28\;\mathbf{i}-(\;0,18\;\mathbf{j}+0,12\;\mathbf{k}\;)\\
\mathbf{R}=0,28\;\mathbf{i}-0,18\;\mathbf{j}-0,12\;\mathbf{k}
\end{gather}
\]
o vetor unitário eAD será
\[
\begin{gather}
{\mathbf{e}}_{AD}=\frac{\mathbf{R}}{|\mathbf{R}|}\\[5pt]
{\mathbf{e}}_{AD}=\frac{0,28\;\mathbf{i}-0,18\;\mathbf{j}-0,12\;\mathbf{k}}{\sqrt{\;0,28^{2}+(\;-0,18^{2}\;)+(\;-0,12^{2}\;)\;}}\\[5pt]
{\mathbf{e}}_{AD}=\frac{0,28\;\mathbf{i}-0,18\;\mathbf{j}-0,12\;\mathbf{k}}{\sqrt{\;0,0784+0,0324+0,0144\;}}\\[5pt]
{\mathbf{e}}_{AD}=\frac{0,28\;\mathbf{i}-0,18\;\mathbf{j}-0,12\;\mathbf{k}}{\sqrt{\;0,1252\;}}\\[5pt]
{\mathbf{e}}_{AD}=\frac{0,28\;\mathbf{i}-0,18\;\mathbf{j}-0,12\;\mathbf{k}}{0,3538}\\[5pt]
{\mathbf{e}}_{AD}=0,79\;\mathbf{i}-0,51\;\mathbf{j}-0,34\;\mathbf{k}
\end{gather}
\]
O vetor velocidade angular será (Figura 3)
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{{\boldsymbol\omega}=\omega \;{\mathbf{e}}_{AD}}
\]
\[
\boldsymbol{\omega}=12.(0,79\;\mathbf{i}-0,51\;\mathbf{j}-0,34\;\mathbf{k})
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\boldsymbol{\omega}=9,48\;\mathbf{i}-6,12\;\mathbf{j}-4,08\;\mathbf{k}} \tag{I}
\end{gather}
\]
b) O vetor aceleração angular será (Figura 4)
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\boldsymbol{\alpha }=\alpha \;{\mathbf{e}}_{AD}}
\]
\[
\boldsymbol{\alpha}=-3.(0,79\;\mathbf{i}-0,51\;\mathbf{j}-0,34\;\mathbf{k})
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\boldsymbol{\alpha}=-2,37\;\mathbf{i}+1,53\;\mathbf{j}+1,02\;\mathbf{k}} \tag{II}
\end{gather}
\]
c) O vetor r' é o mesmo usado no item (a), o vetor r vai da origem até o ponto B que tem as coordenadas \( (x_{B},y_{B},z_{B})=(0,28;0,18;0,12) \), o vetor será \( \mathbf{r}=0,28\mathbf{i}+0,18\;\mathbf{j}+0,12\;\mathbf{k} \). O vetor rB que localiza o ponto B, onde queremos calcular o vetor velocidade, em relação ao ponto A será dado por (Figura 5-A)
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}_{B}=\mathbf{r}-\mathbf{{r'}}\\[5pt]
\mathbf{r}_{B}=0,28\mathbf{i}+0,18\;\mathbf{j}+0,12\;\mathbf{k}-(0,18\;\mathbf{j}+0,12\;\mathbf{k})\\[5pt]
\mathbf{r}_{B}=0,28\mathbf{i}+0,18\;\mathbf{j}+0,12\;\mathbf{k}-0,18\;\mathbf{j}-0,12\;\mathbf{k}\\[5pt]
\mathbf{r}_{B}=0,28\mathbf{i} \tag{III}
\end{gather}
\]
Usando a expressão (I) o vetor velocidade do ponto B será (Figura 5-B)
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{B}}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
\;9,48&-6,12&-4,08\\
\;0,28&0&0
\end{bmatrix}\\[5pt]
\mathbf{v}=[(\;-6,12\;).0-(\;-4,08\;).0]\;\mathbf{i}-[\;9,48.0-(\;-4,08\;).0,28]\;\mathbf{j}+[\;9,48.0-(\;-6,12\;).0,28]\;\mathbf{k}\\[5pt]
\mathbf{v}=[0-0]\;\mathbf{i}-[0-(\;-1,14\;)]\;\mathbf{j}+[0-(\;-1,71\;)]\;\mathbf{k}\\[5pt]
\mathbf{v}=0\;\mathbf{i}-[1,14]\;\mathbf{j}+[1,71]\;\mathbf{k}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{v}=-1,14\;\mathbf{j}+1,71\;\mathbf{k}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
d) Usando o vetor rB do item (c) e a expressão (II), o vetor aceleração no ponto
B será (Figura 6)
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{a}=\boldsymbol{\omega }\times(\;\boldsymbol{\omega }\times\mathbf{r}_{B}\;)+\boldsymbol{\alpha }\times\mathbf{r}_{B}}
\]
O termo entre parênteses
\( (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{B}) \)
é o vetor velocidade v encontrado no item (c), assim podemos reescrever
\[
\begin{gather}
\mathbf{a}=\boldsymbol{\omega }\times\mathbf{v}+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{B} \tag{V}
\end{gather}
\]
Calculando separadamente os produtos vetoriais
\[
\begin{gather}
\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
9,48&-6,12&-4,08\\
0&-1,14&1,71
\end{bmatrix}\\[5pt]
\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}=[(\;-6,12\;).1,71-(\;-4,08\;).(\;-1,14\;)]\;\mathbf{i}\mathrm{-}\\[5pt]
\qquad\qquad\qquad -[\;9,48.1,71-(\;-4,08\;).0]\;\mathbf{j}+[\;9,48.(\;-1,14\;)-(\;-6,12\;).0]\;\mathbf{k}\\[5pt]
\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}=[-10,47-4,65]\;\mathbf{i}-[16,21-0]\;\mathbf{j}+[-10,81-0]\;\mathbf{k}\\[5pt]
\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}=-15,12\;\mathbf{i}-16,21\;\mathbf{j}-10,81\;\mathbf{k} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\boldsymbol{\alpha }\times\mathbf{r}_{B}=\begin{bmatrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
\;-2,37&1,53&1,02\\
0,28&0&0
\end{bmatrix}\\[5pt]
\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{B}=[\;1,53.0-1,02.0\;]\;\mathbf{i}-[(\;-2,37\;).0-1,02.0,28]\;\mathbf{j}+[(\;-2,37\;).0-1,53.0,28]\;\mathbf{k}\\[5pt]
\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{B}=[0-0]\;\mathbf{i}-[0-0,29]\;\mathbf{j}+[0-0,43]\;\mathbf{k} \\[5pt]
\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{B}=0,29\;\mathbf{j}-0,43\;\mathbf{k} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (V) o vetor aceleração será
\[
\mathbf{a}=(\;-15,12\;\mathbf{i}-16,21\;\mathbf{j}-10,81\;\mathbf{k}\;)+(\;0,29\;\mathbf{j}-0,43\;\mathbf{\;})\mathbf{k}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{a}=-15,12\;\mathbf{i}-15,92\;\mathbf{j}+11,24\;\mathbf{k}}
\]
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