Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações
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Um disco de raio R rola, sem deslizar, com velocidade angular ω constante ao longo de um plano horizontal, sendo que o centro da roda descreve uma trajetória retilínea. Suponha que, a partir de um instante t = 0, um ponto na periferia da roda esteja na origem de um sistema de coordenadas ortogonais Oxy.
a) Determinar as equações paramétricas da trajetória, i.e., determine x e y em função do tempo;
b) Determine as componentes da velocidade;
c) Determine as componentes da aceleração.

Observação: i.e. é abreviação da expressão em latim istum est, que significa isto é.



Dados do problema:
  • Raio do disco:    R;
  • Velocidade angular:    ω.
Esquema do problema:

Vamos adotar um sistema de referência O fixo no solo com o ponto P do disco na origem do sistema e um outro sistema de referência O' com origem no centro do disco (Figura 1-A).

Figura 1

O vetor r descreve a posição do ponto P em relação ao referencial O fixo, o vetor rC descreve a posição do centro do disco em relação ao referencial O e o vetor rP descreve a posição do ponto P em relação ao referencial O' que se desloca com o disco
\[ \begin{gather} \mathbf{r}={\mathbf{r}}_{C}+{\mathbf{r}}_{P} \tag{I} \end{gather} \]
Solução

a) O vetor r é escrito como   \( \mathbf{r}=x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \),   onde x e y devem ser escritas em função do tempo, x(t) e y(t), que fornecem as equações paramétricas pedidas, i e j são os vetores unitários nas direções x e y.
O vetor rC é escrito como   \( {\mathbf{r}}_{C}=x_{C}\;\mathbf{i}+y_{C}\;\mathbf{j} \)   (Figura 2), como a velocidade do disco é constante a ordenada do centro do disco descreve um Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {x=x_{0}+vt} \]
para a coordenada do centro do disco
\[ x_{C}=x_{0C}+v_{C}t \]
no instante inicial o centro do disco está na origem do eixo-x temos x0C = 0 e vC é o módulo a velocidade do centro do disco
\[ x_{C}=v_{C}t \]
A abscissa do centro do disco é um valor constante dado pelo raio do disco
\[ y_{C}=R \]
podemos escrever
\[ \begin{gather} {\mathbf{r}}_{C}=v_{C}t\;\mathbf{i}+R\;\mathbf{j} \tag{II} \end{gather} \]
O vetor rP pode ser decomposto nas direções x' e y' tomando-se como referência o sistema O' no centro do disco (Figura 3-A), escrito como   \( {\mathbf{r}}_{P}=x_{P}\;\mathbf{i}+y_{P}\;\mathbf{j} \)
\[ \begin{gather} x_{P}=R\cos \theta\\[10pt] y_{P}=R\operatorname{sen}\theta \end{gather} \]
Figura 2

como a velocidade angular do disco é constante o ponto P descreve um Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) cuja equação é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\theta =\theta_{0}+\omega t} \]
O ângulo θ é medido a partir do eixo-x positivo no sentido anti-horário, a posição angular inicial do ponto P é \( \theta_{0}=\frac{3\pi}{2} \) em relação ao sistema de referência O' e a velocidade angular é negativa, pois o disco gira no sentido horário (Figura 3-B)
\[ {\mathbf{r}}_{P}=R\cos \left(\frac{3\pi}{2}-\omega t\right)\;\mathbf{i}+R\operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2}-\omega t\right)\;\mathbf{j} \]
Observação: Lembrando das propriedades da Trigonometria
\[ \begin{gather} \cos (a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b\\[10pt] \operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen}a\cos b-\operatorname{sen}b\cos a \end{gather} \]
\[ \begin{gather} {\mathbf{r}}_{P}=R\left(\underbrace{\cos\frac{3\pi}{2}}_{0}\cos \omega t+\underbrace{\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}}_{-1}\operatorname{sen}\omega t\right)\;\mathbf{i}+R\left(\underbrace{\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}}_{-1}\cos \omega t-\operatorname{sen}\omega t\;\underbrace{\cos\frac{3\pi}{2}}_{0}\right)\;\mathbf{j}\\[5pt] {\mathbf{r}}_{P}=-R\operatorname{sen}\omega t\;\mathbf{i}-R\cos \theta\;\mathbf{j} \tag{III} \end{gather} \]
Substituindo a definição de r e as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[ x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}=v_{C}t\;\mathbf{i}+R\;\mathbf{j}-R\operatorname{sen}\omega t\;\mathbf{i}-R\cos \omega t\;\mathbf{j} \]
separando as componentes
\[ \begin{align} & x=v_{C}t-R\operatorname{sen}\omega t\\[10pt] & y=R-R\cos\omega t \tag{IV} \end{align} \]
O vetor velocidade do centro do disco só possui componente na direção i escrito como   \( {\mathbf{\text{v}}}_{C}=v_{C}\;\mathbf{i} \),   o vetor velocidade tangencial de um ponto do disco só possui componente na direção eθ, este é o vetor unitário na direção de variação do ângulo (Figura 4), e é escrito como   \( {\mathbf{v}}_{T}=-v_{T}\;{\mathbf{\text{e}}}_{\theta} \).   Como o disco gira sem escorregamento os módulos das velocidades do centro do disco e tangencial devem ser iguais.
\[ \begin{gather} \left|\;{\mathbf{v}}_{C}\;\right|=\left|\;{\mathbf{v}}_{T}\;\right|\\ v_{C}=v_{T} \end{gather} \]

Figura 3

Observação: O movimento do disco é a composição de dois movimentos, um movimento de translação em que a velocidade do centro do disco (vC) e de todos os pontos do disco (Figura 4-A), e um movimento de rotação de todos os pontos do disco em torno do cento em que a velocidade é tangencial ao disco (vT) (Figura 4-B). A velocidade (v) dos pontos do disco é dada pela composição dessas duas velocidades (Figura 4-C).
Figura 4
Dois vetores são iguais somente se seus módulos, direções e sentidos são iguais, os vetores vC e vT possuem direções e sentidos diferentes (o único ponto em que eles são iguais acontece quando o vetor tangencial está na posição superior do disco, em vermelho na Figura 4-B). Como o problema diz que o disco se desloca sem deslizar podemos igualar seus módulos.
Se a velocidade do centro do disco fosse maior que a velocidade tangencial o disco iria girar devagar enquanto seria arrastado contra o solo, se a velocidade tangencial fosse maior que a velocidade do centro ele iria girar rápido patinando enquanto transladava pelo solo.

O módulo da velocidade tangencial é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \]
igualando as velocidades
\[ \begin{gather} v_{T}=v_{C}=\omega R \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} x=\omega Rt-R\operatorname{sen}\omega t\\[10pt] y=R-R\cos\omega t \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] { \begin{align} & x(t)=R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t)\\[8pt] & y(t)=R(1-\cos \omega t) \end{align} } \]

Observação: A curva descrita pelas equações encontradas é mostrada na Figura 5, esta curva é chamada cicloide.

Figura 5

Os pontos P1, P2, P3, P4 e P5 são alguns pontos do disco enquanto ele se desloca descrevendo a trajetória.


b) A velocidade na direção x será dada por
\[ v_{x}(t)=\frac{dx(t)}{dt} \]
Derivada de    \( x(t)=R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t) \)
\[ \frac{dx(t)}{dt}=\frac{d[R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t)]}{dt} \]
o raio R é constante e “sai” da derivada, a derivada da diferença é a diferença das derivadas, com \( g(t)=\omega t \) e \( h(t)=\operatorname{sen}\omega t \)
\[ \begin{gather} \frac{dx(t)}{dt}=R\left(\frac{dg(t)}{dt}-\frac{dh(t)}{dt}\right) \tag{VI} \end{gather} \]
Derivada de    \( g(t)=\omega t \)
\[ \begin{gather} \frac{dg}{dt}=\omega \tag{VII} \end{gather} \]
Derivada de   \( h(t)=\operatorname{sen}\omega t \),   onde a função h(t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
\[ \begin{gather} \frac{dh[u(t)]}{dt}=\frac{dh}{du}\frac{du}{dt} \tag{VIII} \end{gather} \]
com   \( h(u)=\operatorname{sen}u \)   e   \( u(t)=\omega t \),   \( u(t)=g(t) \)   já foi calculado acima, a derivada será
\[ \begin{gather} \frac{dh}{du}=\cos u \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VII) e (IX) na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} \frac{dh[u(t)]}{dt}=\omega \cos \omega t \tag{X} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VII) e (X) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} \frac{dx(t)}{dt}=R(\omega -\omega \cos \omega t)\\ \frac{dx(t)}{dt}=R\omega (1-\omega \cos \omega t) \tag{XI} \end{gather} \]

A velocidade na direção y será dada por
\[ v_{y}(t)=\frac{dy(t)}{dt} \]
Derivada de    \( y(t)=R(1-\cos \omega t) \)

o raio R é constante e “sai” da derivada, aplicando novamente a regra de que a derivada da diferença é a diferença das derivadas, com   \( g(t)=1 \)   e   \( h(t)=\cos \omega t \)
\[ \begin{gather} \frac{dy(t)}{dt}=R\left(\frac{dg(t)}{dt}-\frac{dh(t)}{dt}\right) \tag{XII} \end{gather} \]
Derivada de \( g(t)=1 \), a derivada de uma constante é nula
\[ \begin{gather} \frac{dg}{dt}=0 \tag{XIII} \end{gather} \]
Derivada de   \( h(t)=\cos \omega t \),   onde a função h(t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia (VIII), com   \( h(u)=\cos u \)   e   \( u(t)=\omega t \),   \( u(t)=g(t) \)   já foi calculado acima, a derivada será
\[ \begin{gather} \frac{dh}{du}=-\operatorname{sen}u \tag{XIV} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VII) e (XIV) na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} \frac{dh[u(t)]}{dt}=-\omega \operatorname{sen}\omega t \tag{XV} \end{gather} \]
substituindo as expressões (XIII) e (XV) na expressão (XII)
\[ \begin{gather} \frac{dy(t)}{dt}=R[0-(-\omega \operatorname{sen}\omega t)]\\ \frac{dy(t)}{dt}=R\omega \operatorname{sen}\omega t \tag{XVI} \end{gather} \]

Com as equações (XI) e (XVI) as equações paramétricas da velocidade serão
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] { \begin{align} & v_{x}(t)=R\omega (1-\cos \omega t)\\[8pt] & v_{y}(t)=R\omega\operatorname{sen}\omega t \end{align} } \]

c) A aceleração na direção x será dada por
\[ a_{x}(t)=\frac{dv_{x}(t)}{dt} \]
Derivada de    \( v_{x}(t)=R\omega (1-\cos \omega t) \)
\[ \frac{dv_{x}(t)}{dt}=\frac{d[R\omega (1-\cos \omega t)]}{dt} \]
o raio R e a velocidade angular ω são constantes e “saem” da derivada, sendo   \( g(t)=1 \)   e   \( h(t)=\cos \omega t \)
\[ \frac{dv_{x}(t)}{dt}=R\omega \frac{d[g(t)-h(t)]}{dt} \]
usando o valor para a derivada de g(t) dado pela expressão (XIII) e valor da derivada de h(t) dada pela expressão (XIV)
\[ \begin{gather} \frac{dv_{x}(t)}{dt}=R\omega [0-(-\omega\operatorname{sen}\omega t)]\\ \frac{dv_{x}(t)}{dt}=R\omega^{2}\operatorname{sen}\omega t \tag{XVII} \end{gather} \]

A aceleração na direção y será dada por
\[ a_{y}(t)=\frac{dv_{y}(t)}{dt} \]
Derivada de    \( v_{y}(t)=R\omega \operatorname{sen}\omega t \)

Usando a derivada da função seno calculada acima dada pela expressão (X)
\[ \begin{gather} \frac{dv_{y}(t)}{dt}=R\omega (\omega \cos \omega t)\\ \frac{dv_{y}(t)}{dt}=R\omega ^{2}\cos \omega t \tag{XVIII} \end{gather} \]

Com as equações (XVII) e (XVIII) as equações paramétricas da aceleração serão
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] { \begin{align} & a_{x}(t)=R\omega ^{2}\operatorname{sen}\omega t\\[8pt] & a_{y}(t)=R\omega ^{2}\cos \omega t \end{align} } \]
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