Um disco de raio R rola, sem deslizar, com velocidade angular ω constante ao longo de um plano
horizontal, sendo que o centro da roda descreve uma trajetória retilínea. Suponha que, a partir de um instante
t = 0, um ponto na periferia da roda esteja na origem de um sistema de coordenadas ortogonais
Oxy.
a) Determinar as equações paramétricas da trajetória, i.e., determine x e y em função do
tempo;
b) Determine as componentes da velocidade;
c) Determine as componentes da aceleração.
Dados do problema:
- Raio do disco: R;
- Velocidade angular: ω.
Esquema do problema:
Vamos adotar um sistema de referência O fixo no solo com o ponto P do disco na origem do sistema e
um outro sistema de referência O' com origem no centro do disco (Figura 1-A).
O vetor r descreve a posição do ponto P em relação ao referencial O fixo, o vetor
rC descreve a posição do centro do disco em relação ao referencial O e o vetor
rP descreve a posição do ponto P em relação ao referencial O' que se
desloca com o disco
\[
\begin{gather}
\mathbf r=\mathbf r_C+\mathbf r_P \tag{I}
\end{gather}
\]
Solução:
a) O vetor r é escrito como
\( \mathbf r=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \),
onde x e y devem ser escritas em função do tempo, x(t) e y(t), que
fornecem as equações paramétricas pedidas, i e j são os vetores unitários nas direções x
e y.
O vetor rC é escrito como
\( \mathbf r_C=x_C\;\mathbf i+y_C\;\mathbf j \)
(Figura 2), como a velocidade do disco é constante a ordenada do centro do disco descreve um
Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x=x_0+vt}
\end{gather}
\]
para a coordenada do centro do disco
\[
\begin{gather}
x_C=x_{0C}+v_Ct
\end{gather}
\]
no instante inicial o centro do disco está na origem do eixo-x temos x0C = 0 e
vC é o módulo a velocidade do centro do disco
\[
\begin{gather}
x_C=v_Ct
\end{gather}
\]
A abscissa do centro do disco é um valor constante dado pelo raio do disco
\[
\begin{gather}
y_C=R
\end{gather}
\]
podemos escrever
\[
\begin{gather}
\mathbf r_C=v_Ct\;\mathbf i+R\;\mathbf j \tag{II}
\end{gather}
\]
O vetor rP pode ser decomposto nas direções x' e y' tomando-se como
referência o sistema O' no centro do disco (Figura 3-A), escrito como
\( \mathbf r_P=x_P\;\mathbf i+y_P\;\mathbf j \)
\[
\begin{gather}
x_P=R\cos\theta \\[10pt]
y_P=R\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
como a velocidade angular do disco é constante o ponto P descreve um Movimento Circular Uniforme
(M.C.U.) cuja equação é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\theta =\theta_0+\omega t}
\end{gather}
\]
O ângulo θ é medido a partir do eixo-x positivo no sentido anti-horário, a posição angular inicial do
ponto P é
\( \theta_0=\frac{3\pi}{2} \)
em relação ao sistema de referência O' e a velocidade angular é negativa, pois o disco gira no sentido
horário (Figura 3-B)
\[
\begin{gather}
\mathbf r_P=R\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\omega t\right)\;\mathbf i+R\operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2}-\omega t\right)\;\mathbf j
\end{gather}
\]
Observação: Lembrando das propriedades da
Trigonometria
\[
\begin{gather}
\cos (a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \\[10pt]
\operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen}a\cos b-\operatorname{sen}b\cos a
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf r_P=R\left(\underbrace{\cos\frac{3\pi}{2}}_0\cos\omega t+\underbrace{\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}}_{-1}\operatorname{sen}\omega t\right)\;\mathbf i+R\left(\underbrace{\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}}_{-1}\cos\omega t-\operatorname{sen}\omega t\;\underbrace{\cos\frac{3\pi}{2}}_0\right)\;\mathbf j \\[5pt]
\mathbf r_P=-R\operatorname{sen}\omega t\;\mathbf i-R\cos\theta\;\mathbf j \tag{III}
\end{gather}
\]
Substituindo a definição de r e as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
x\;\mathbf i+y\;\mathbf j=v_Ct\;\mathbf i+R\;\mathbf j-R\operatorname{sen}\omega t\;\mathbf i-R\cos\omega t\;\mathbf j
\end{gather}
\]
separando as componentes
\[
\begin{align}
& x=v_Ct-R\operatorname{sen}\omega t \\[10pt]
& y=R-R\cos\omega t \tag{IV}
\end{align}
\]
O vetor velocidade do centro do disco só possui componente na direção
i escrito como
\( {\mathbf{\text{v}}}_C=v_C\;\mathbf i \),
o vetor velocidade tangencial de um ponto do disco só possui componente na direção
eθ, este é o vetor unitário na direção de variação do ângulo (Figura 4), e é escrito
como
\( \mathbf v_T=-v_T\;{\mathbf{\text{e}}}_{\theta} \).
Como o disco gira sem escorregamento os módulos das velocidades do centro do disco e tangencial devem ser
iguais.
\[
\begin{gather}
\left|\;\mathbf v_C\;\right|=\left|\;\mathbf v_T\;\right|\\
v_C=v_T
\end{gather}
\]
Observação: O movimento do disco é a composição de dois movimentos, um movimento de translação em
que a velocidade do centro do disco (vC) e de todos os pontos do disco (Figura 4-A), e um
movimento de rotação de todos os pontos do disco em torno do cento em que a velocidade é tangencial ao disco
(vT) (Figura 4-B). A velocidade (v) dos pontos do disco é dada pela composição dessas
duas velocidades (Figura 4-C).
Dois vetores são iguais somente se seus módulos, direções e sentidos são iguais, os vetores
vC e
vT possuem direções e sentidos diferentes (o único ponto em que eles são iguais acontece quando
o vetor tangencial está na posição superior do disco, em vermelho na Figura 4-B). Como o problema diz que o disco
se desloca sem deslizar podemos igualar seus módulos.
Se a velocidade do centro do disco fosse maior que a velocidade tangencial o disco iria girar devagar enquanto
seria arrastado contra o solo, se a velocidade tangencial fosse maior que a velocidade do centro ele iria girar
rápido patinando enquanto transladava pelo solo.
O módulo da velocidade tangencial é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
igualando as velocidades
\[
\begin{gather}
v_T=v_C=\omega R \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
x=\omega Rt-R\operatorname{sen}\omega t \\[10pt]
y=R-R\cos\omega t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{
\begin{align}
& x(t)=R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t) \\[10pt]
& y(t)=R(1-\cos\omega t)
\end{align}
}
\end{gather}
\]
Observação: A curva descrita pelas equações encontradas é mostrada na Figura 5, esta curva é
chamada cicloide.
Os pontos
P1,
P2,
P3,
P4 e
P5 são alguns pontos do disco enquanto ele se desloca descrevendo a trajetória.
b) A velocidade na direção x será dada por
\[
\begin{gather}
v_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( x(t)=R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t) \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d[R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t)]}{dt}
\end{gather}
\]
o raio
R é constante e “sai” da derivada, a derivada da diferença é a diferença das derivadas, com
\( g(t)=\omega t \)
e
\( h(t)=\operatorname{sen}\omega t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx(t)}{dt}=R\left(\frac{dg(t)}{dt}-\frac{dh(t)}{dt}\right) \tag{VI}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( g(t)=\omega t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dg}{dt}=\omega\tag{VII}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( h(t)=\operatorname{sen}\omega t \),
onde a função
h(
t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
\[
\begin{gather}
\frac{dh[u(t)]}{dt}=\frac{dh}{du}\frac{du}{dt} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
com
\( h(u)=\operatorname{sen}u \)
e
\( u(t)=\omega t \),
\( u(t)=g(t) \)
já foi calculado acima, a derivada será
\[
\begin{gather}
\frac{dh}{du}=\cos u \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VII) e (IX) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{dh[u(t)]}{dt}=\omega\cos\omega t \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VII) e (X) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
\frac{dx(t)}{dt}=R(\omega -\omega\cos\omega t) \\[5pt]
\frac{dx(t)}{dt}=R\omega (1-\omega\cos\omega t) \tag{XI}
\end{gather}
\]
A velocidade na direção y será dada por
\[
\begin{gather}
v_y(t)=\frac{dy(t)}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( y(t)=R(1-\cos\omega t) \)
o raio
R é constante e “sai” da derivada, aplicando novamente a regra de que a derivada da diferença é a
diferença das derivadas, com
\( g(t)=1 \)
e
\( h(t)=\cos\omega t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dy(t)}{dt}=R\left(\frac{dg(t)}{dt}-\frac{dh(t)}{dt}\right) \tag{XII}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( g(t)=1 \),
a derivada de uma constante é nula
\[
\begin{gather}
\frac{dg}{dt}=0 \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( h(t)=\cos\omega t \),
onde a função
h(
t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia (VIII), com
\( h(u)=\cos u \)
e
\( u(t)=\omega t \),
\( u(t)=g(t) \)
já foi calculado acima, a derivada será
\[
\begin{gather}
\frac{dh}{du}=-\operatorname{sen}u \tag{XIV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VII) e (XIV) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{dh[u(t)]}{dt}=-\omega\operatorname{sen}\omega t \tag{XV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (XIII) e (XV) na expressão (XII)
\[
\begin{gather}
\frac{dy(t)}{dt}=R[0-(-\omega\operatorname{sen}\omega t)] \\[5pt]
\frac{dy(t)}{dt}=R\omega\operatorname{sen}\omega t \tag{XVI}
\end{gather}
\]
Com as equações (XI) e (XVI) as equações paramétricas da velocidade serão
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{
\begin{align}
& v_x(t)=R\omega (1-\cos\omega t) \\[10pt]
& v_y(t)=R\omega\operatorname{sen}\omega t
\end{align}
}
\]
c) A aceleração na direção x será dada por
\[
\begin{gather}
a_x(t)=\frac{dv_x(t)}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( v_x(t)=R\omega (1-\cos\omega t) \)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_x(t)}{dt}=\frac{d[R\omega (1-\cos\omega t)]}{dt}
\end{gather}
\]
o raio
R e a velocidade angular
ω são constantes e “saem” da derivada, sendo
\( g(t)=1 \)
e
\( h(t)=\cos\omega t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_x(t)}{dt}=R\omega\frac{d[g(t)-h(t)]}{dt}
\end{gather}
\]
usando o valor para a derivada de
g(
t) dado pela expressão (XIII) e valor da derivada de
h(
t) dada pela expressão (XIV)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_x(t)}{dt}=R\omega [0-(-\omega\operatorname{sen}\omega t)]\\
\frac{dv_x(t)}{dt}=R\omega^2\operatorname{sen}\omega t \tag{XVII}
\end{gather}
\]
A aceleração na direção y será dada por
\[
\begin{gather}
a_y(t)=\frac{dv_y(t)}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( v_y(t)=R\omega\operatorname{sen}\omega t \)
Usando a derivada da função seno calculada acima dada pela expressão (X)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_y(t)}{dt}=R\omega (\omega\cos\omega t) \\[5pt]
\frac{dv_y(t)}{dt}=R\omega^2\cos\omega t \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
Com as equações (XVII) e (XVIII) as equações paramétricas da aceleração serão
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{
\begin{align}
& a_x(t)=R\omega^2\operatorname{sen}\omega t\\[8pt]
& a_y(t)=R\omega^2\cos\omega t
\end{align}
}
\]
