Um disco de raio R rola, sem deslizar, com velocidade angular ω constante ao longo de um plano
horizontal, sendo que o centro da roda descreve uma trajetória retilínea. Suponha que, a partir de um instante
t = 0, um ponto na periferia da roda esteja na origem de um sistema de coordenadas ortogonais
Oxy.
a) Determinar as equações paramétricas da trajetória, i.e., determine x e y em função do
tempo;
b) Determine as componentes da velocidade;
c) Determine as componentes da aceleração.
Dados do problema:
- Raio do disco: R;
- Velocidade angular: ω.
Esquema do problema:
Vamos adotar um sistema de referência O fixo no solo com o ponto P do disco na origem do sistema e
um outro sistema de referência O' com origem no centro do disco (Figura 1).
Solução:
a) As coordenadas x e y descrevem a posição do ponto P em relação ao referencial O,
as coordenadas xC e yC descrevem a posição do centro do disco em relação ao
referencial O (Figura 2-A) e as coordenadas xP e yP descrevem a posição
do ponto P em relação ao referencial O' que se desloca com o disco (Figura 2-B).
os pontos x e y são dados por
\[
\begin{gather}
x=x_C-x_P \tag{I-a} \\[10pt]
y=y_C-y_P \tag{I-b}
\end{gather}
\]
Observação: No referencial O' o ângulo θ é medido a partir do eixo-y negativo
no sentido horário, ao contrário do que se faz usualmente quando o ângulo é medido a partir do eixo-x
positivo no sentido anti-horário.
A velocidade do disco é constante a ordenada do centro do disco descreve um
Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x=x_0+vt}
\end{gather}
\]
para a coordenada do centro do disco
\[
\begin{gather}
x_C=x_{0C}+v_Ct
\end{gather}
\]
no instante inicial o centro do disco está na origem do eixo-x temos x0C = 0 e
vC é o módulo a velocidade do centro do disco
\[
\begin{gather}
x_C=v_Ct \tag{II}
\end{gather}
\]
A abscissa do centro do disco é um valor constante dado pelo raio do disco
\[
\begin{gather}
y_C=R \tag{III}
\end{gather}
\]
A posição do ponto P em relação ao referencial O' pode ser descrita pelas suas componentes
\[
\begin{gather}
x_P=R\cos\theta \tag{IV-a} \\[10pt]
y_P=R\operatorname{sen}\theta \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
como a velocidade angular do disco é constante o ponto P descreve um
Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\theta =\theta_0+\omega t}
\end{gather}
\]
o valor inicial do ângulo θ é nulo (θ0 = 0) em relação ao sistema de referência
O'
\[
\begin{gather}
\theta =\omega t \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II), (III), (IV-a), (IV-b) e (V) nas expressões (I-a) e (I-b)
\[
\begin{gather}
x=v_Ct-R\operatorname{sen}\omega t \tag{VI} \\[10pt]
y=R-R\cos\omega t
\end{gather}
\]
Como o disco gira sem escorregamento os módulos das velocidades do centro do disco e tangencial devem ser iguais.
\[
\begin{gather}
v_C=v_T
\end{gather}
\]
Observação: O movimento do disco é a composição de dois movimentos, um movimento de translação em
que a velocidade do centro do disco (vC) e de todos os pontos do disco (Figura 3-A), e um
movimento de rotação de todos os pontos do disco em torno do cento em que a velocidade é tangencial ao disco
(vT) (Figura 3-B). A velocidade (v) dos pontos do disco é dada pela composição dessas
duas velocidades (Figura 3-C).
Dois vetores são iguais somente se seus módulos, direções e sentidos são iguais, os vetores
vC e
vT possuem direções e sentidos diferentes (o único ponto em que eles são iguais acontece quando
o vetor tangencial está na posição superior do disco, em vermelho na Figura 3-B). Como o problema diz que o disco
se desloca sem deslizar podemos igualar seus módulos.
Se a velocidade do centro do disco fosse maior que a velocidade tangencial o disco iria girar devagar enquanto
seria arrastado contra o solo, se a velocidade tangencial fosse maior que a velocidade do centro ele iria girar
rápido patinando enquanto transladava pelo solo.
O módulo da velocidade tangencial é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r}
\end{gather}
\]
igualando as velocidades
\[
\begin{gather}
v_T=v_C=\omega R \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
x=\omega Rt-R\operatorname{sen}\omega t\\[10pt]
y=R-R\cos\omega t
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{
\begin{align}
& x(t)=R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t) \\[10pt]
& y(t)=R(1-\cos\omega t)
\end{align}
}
\]
Observação: A curva descrita pelas equações encontradas é mostrada na Figura 4, esta curva é
chamada cicloide.
Os pontos
P1,
P2,
P3,
P4 e
P5 são alguns pontos do disco enquanto ele se desloca descrevendo a trajetória.
b) A velocidade na direção x será dada por
\[
\begin{gather}
v_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( x(t)=R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t) \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d[R(\omega t-\operatorname{sen}\omega t)]}{dt}
\end{gather}
\]
o raio
R é constante e “sai” da derivada, a derivada da diferença é a diferença das derivadas, com
\( g(t)=\omega t \)
e
\( h(t)=\operatorname{sen}\omega t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx(t)}{dt}=R\left(\frac{dg(t)}{dt}-\frac{dh(t)}{dt}\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( g(t)=\omega t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dg}{dt}=\omega\tag{IX}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( h(t)=\operatorname{sen}\omega t \),
onde a função
h(
t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
\[
\begin{gather}
\frac{dh[u(t)]}{dt}=\frac{dh}{du}\frac{du}{dt} \tag{X}
\end{gather}
\]
com
\( h(u)=\operatorname{sen}u \)
e
\( u(t)=\omega t \),
\( u(t)=g(t) \)
já foi calculado acima, a derivada será
\[
\begin{gather}
\frac{dh}{du}=\cos u \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IX) e (XI) na expressão (X)
\[
\begin{gather}
\frac{dh[u(t)]}{dt}=\omega\cos\omega t \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IX) e (XII) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{dx(t)}{dt}=R(\omega -\omega\cos\omega t) \\[5pt]
\frac{dx(t)}{dt}=R\omega (1-\omega\cos\omega t) \tag{XIII}
\end{gather}
\]
A velocidade na direção y será dada por
\[
\begin{gather}
v_y(t)=\frac{dy(t)}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( y(t)=R(1-\cos\omega t) \)
o raio
R é constante e “sai” da derivada, aplicando novamente a regra de que a derivada da diferença é a
diferença das derivadas, com
\( g(t)=1 \)
e
\( h(t)=\cos\omega t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dy(t)}{dt}=R\left(\frac{dg(t)}{dt}-\frac{dh(t)}{dt}\right) \tag{XIV}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( g(t)=1 \),
a derivada de uma constante é nula
\[
\begin{gather}
\frac{dg}{dt}=0 \tag{XV}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( h(t)=\cos\omega t \),
onde a função
h(
t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia (X), com
\( h(u)=\cos u \)
e
\( u(t)=\omega t \),
\( u(t)=g(t) \)
já foi calculado acima, a derivada será
\[
\begin{gather}
\frac{dh}{du}=-\operatorname{sen}u \tag{XVI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IX) e (XVI) na expressão (X)
\[
\begin{gather}
\frac{dh[u(t)]}{dt}=-\omega\operatorname{sen}\omega t \tag{XVII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (XV) e (XVII) na expressão (XIV)
\[
\begin{gather}
\frac{dy(t)}{dt}=R[0-(-\omega\operatorname{sen}\omega t)]\\
\frac{dy(t)}{dt}=R\omega\operatorname{sen}\omega t \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
Com as equações (XIII) e (XVIII) as equações paramétricas da velocidade serão
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{
\begin{align}
& v_x(t)=R\omega (1-\cos\omega t) \\[10pt]
& v_y(t)=R\omega\operatorname{sen}\omega t
\end{align}
}
\]
c) A aceleração na direção x será dada por
\[
\begin{gather}
a_x(t)=\frac{dv_x(t)}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( v_x(t)=R\omega (1-\cos\omega t) \)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_x(t)}{dt}=\frac{d[R\omega (1-\cos\omega t)]}{dt}
\end{gather}
\]
o raio
R e a velocidade angular
ω são constantes e “saem” da derivada, sendo
\( g(t)=1 \)
e
\( h(t)=\cos\omega t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_x(t)}{dt}=R\omega\frac{d[g(t)-h(t)]}{dt}
\end{gather}
\]
usando o valor para a derivada de
g(
t) dado pela expressão (XV) e valor da derivada de
h(
t) dada pela expressão (XVI)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_x(t)}{dt}=R\omega [0-(-\omega\operatorname{sen}\omega t)]\\
\frac{dv_x(t)}{dt}=R\omega^2\operatorname{sen}\omega t \tag{XIX}
\end{gather}
\]
A aceleração na direção y será dada por
\[
\begin{gather}
a_y(t)=\frac{dv_y(t)}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( v_y(t)=R\omega\operatorname{sen}\omega t \)
Usando a derivada da função seno calculada acima dada pela expressão (XII)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_y(t)}{dt}=R\omega (\omega\cos\omega t) \\[5pt]
\frac{dv_y(t)}{dt}=R\omega^2\cos\omega t \tag{XX}
\end{gather}
\]
Com as equações (XIX) e (XX) as equações paramétricas da aceleração serão
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{
\begin{align}
& a_x(t)=R\omega^2\operatorname{sen}\omega t \\[10pt]
& a_y(t)=R\omega^2\cos\omega t
\end{align}
}
\]
