Uma partícula que descreve uma trajetória circular de raio r e submetida a uma aceleração angular
α. Determinar:
a) A aceleração total da partícula;
b) O que acontece se a componente da aceleração na direção tangencial for zero?
c) O que acontece se a componente da aceleração na direção centrípeta for zero?
Dados do problema:
- Raio da trajetória: r;
- Aceleração angular da partícula: α.
Esquema do Problema:
Adotando-se um sistema de coordenadas cilíndricas, onde er, eφ e
ez são os vetores unitários das direções r, φ e z respectivamente
(Figura 1-B).
O vetor posição só possui componente na direção er, portanto, pode ser escrito como
r = rer e o vetor aceleração angular só possui componente na direção
ez, então, pode ser escrito como α = αez.
Solução:
a) Uma das componentes da aceleração será dada pelo produto vetorial entre o vetor aceleração angular (α)
e o vetor posição, r, (Figura 2-A).
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf a_t=\mathbf\alpha\times\mathbf r}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf a_t=\left|
\begin{matrix}
\mathbf e_r & \mathbf e_\phi & \mathbf e_z \\[5pt]
0 & 0 & \alpha \\[5pt]
r & 0 & 0
\end{matrix}\right| \\[5pt]
\mathbf a_t=(0\times 0-\alpha\times 0)\;\mathbf e_r-(0\times 0-\alpha\times r)\;\mathbf e_\phi+(0\times 0-0\times r)\;\mathbf e_z \\[5pt]
\mathbf a_t=\alpha r\;\mathbf e_\phi
\end{gather}
\]
O vetor at é perpendicular a α e r (Figura 2-B), e tangente à
trajetória da partícula em cada ponto (Figura 2-C), esta é a aceleração tangencial.
Os vetores α e r são perpendiculares entre si, portanto, em módulo
\[
\begin{gather}
a_t=\alpha r\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} \\[5pt]
a_t=\alpha r \tag{I}
\end{gather}
\]
A partícula girando com aceleração angular α possui uma velocidade angular ω, esta
velocidade esta na mesma direção e sentido da aceleração angular, então pode ser escrita como
ω = ωez. A outra componente da aceleração será dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf a_{cp}=\mathbf\omega\times\left(\mathbf\omega\times\mathbf r\right)}
\end{gather}
\]
O produto vetorial
\( \mathbf\omega\times\mathbf r \)
é uma velocidade
\[
\begin{gather}
\mathbf v=\left|
\begin{matrix}
\mathbf e_r & \mathbf e_\phi & \mathbf e_z \\[5pt]
0 & 0 & \omega \\[5pt]
r & 0 & 0
\end{matrix}\right| \\[5pt]
\mathbf v=(0\times 0-\omega\times 0)\;\mathbf e_r-(0\times 0-\omega\times r)\;\mathbf e_\phi+(0\times 0-0\times r)\;\mathbf e_z \\[5pt]
\mathbf v=\omega r\;\mathbf e_\phi
\end{gather}
\]
temos o vetor velocidade v (Figura 3-B).
Este vetor é tangente à trajetória da partícula em cada ponto (Figura 3-C), em módulo
\[
\begin{gather}
v=\omega r\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} \\[5pt]
v=\omega r \tag{II}
\end{gather}
\]
Esta componente da aceleração pode ser escrita como
\[
\begin{gather}
\mathbf a_{cp}=\mathbf\omega\times\left(\mathbf\omega\times\mathbf r\right)=\mathbf\omega\times\mathbf v
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf a_{cp}=\left|
\begin{matrix}
\mathbf e_r & \mathbf e_\phi & \mathbf e_z \\[5pt]
0 & 0 & \omega \\[5pt]
0 & \omega r & 0
\end{matrix}\right| \\[5pt]
\mathbf a_{cp}=(0\times 0-\omega^2\times r)\;\mathbf e_r-(0\times 0-\omega\times 0)\;\mathbf e_\phi+(0\times\omega r-0\times 0)\;\mathbf e_z \\[5pt]
\mathbf a_{cp}=-\omega^2r\;\mathbf e_r
\end{gather}
\]
O vetor aceleração centrípeta está na direção radial e o sinal negativo indica que o sentido é oposto ao vetor
unitário er (Figura 4-B).
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\omega v\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} \\[5pt]
a_{cp}=\omega v \tag{III}
\end{gather}
\]
Em módulo a aceleração centrípeta vale
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\omega^2r \tag{IV}
\end{gather}
\]
A aceleração total da partícula será dada pela soma das componentes centrípeta e tangencial
\[
\begin{gather}
\mathbf a=\mathbf a_t+\mathbf a_{cp} \\[5pt]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf a=\alpha r\;\mathbf e_\phi-\omega^2r\;\mathbf e_r}
\end{gather}
\]
Usando o
Teorema de Pitágoras e as expressões (I) e (IV), (Figura 5)
\[
\begin{gather}
a^2=a_t^2+a_{cp}^2 \\[5pt]
a^2=(\alpha r)^2+(\omega^2r)^2 \\[5pt]
a^2=\alpha^2r^2+\omega^4r^2 \\[5pt]
a^2=r^2(\alpha^2+\omega^4) \\[5pt]
a=\sqrt{r^2(\alpha^2+\omega^4)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=r\sqrt{\alpha^2+\omega^4}}
\end{gather}
\]
b) A componente tangencial da aceleração é responsável pela alteração do módulo da velocidade tangencial, se a
aceleração tangencial for nula a velocidade tangencial é constante. A aceleração total coincide com a aceleração
centrípeta e a partícula gira em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.)
c) A componente centrípeta da aceleração é responsável pela alteração da direção da partícula, se a aceleração
centrípeta for nula a partícula não faz a curva, ela “sai” pela tangente. A aceleração total coincide com a
aceleração tangencial e a partícula está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)
