Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações

Uma partícula que descreve uma trajetória circular de raio r e submetida a uma aceleração angular α. Determinar:
a) A aceleração total da partícula;
b) O que acontece se a componente da aceleração na direção tangencial for zero?
c) O que acontece se a componente da aceleração na direção centrípeta for zero?

Dados do problema:

Raio da trajetória: r;
Aceleração angular da partícula: α.

Esquema do Problema:

Figura 1

Solução:

a) Uma das componentes da aceleração será dada pelo produto vetorial entre o vetor aceleração angular (α) e o vetor posição (r), (Figura 2-A)

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf a_t=\mathbf\alpha\times\mathbf r} \end{gather} \]

Figura 2

Aplicando a regra da mão direita para o produto vetorial (levando o vetor α em direção ao vetor r) obtemos o vetor a_t perpendicular a estes dois (Figura 2-B). Este vetor é tangente à trajetória da partícula em cada ponto (Figura 2-C), esta é a aceleração tangencial.
Os vetores α e r são perpendiculares entre si, portanto, em módulo

\[ \begin{gather} a_t=\alpha r\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} \\[5pt] a_t=\alpha r \tag{I} \end{gather} \]

A partícula girando com aceleração angular α possui uma velocidade angular ω, então a outra componente da aceleração será dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf a_{cp}=\mathbf\omega\times\left(\mathbf\omega\times\mathbf r\right)} \end{gather} \]

O produto vetorial \( \mathbf\omega\times\mathbf r \) é uma velocidade, assim, aplicando a regra da mão direita (levando o vetor ω em direção ao vetor r), temos o vetor velocidade v (Figura 3-B).

Figura 3

Este vetor é tangente à trajetória da partícula em cada ponto (Figura 3-C), em módulo

\[ \begin{gather} v=\omega r\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} \\[5pt] v=\omega r \tag{II} \end{gather} \]

Esta componente da aceleração pode ser escrita como

\[ \begin{gather} \mathbf a_{cp}=\mathbf\omega\times\left(\mathbf\omega\times\mathbf r\right)=\mathbf\omega\times\mathbf v \end{gather} \]

Fazendo o produto vetorial (levando o vetor ω em direção ao vetor v), obtemos um vetor perpendicular a estes e apontado no sentido do centro da trajetória, esta é a aceleração centrípeta (Figura 4-B).

Figura 4

Os vetores ω e v são perpendiculares, portanto, em módulo

\[ \begin{gather} a_{cp}=\omega v\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} \\[5pt] a_{cp}=\omega v \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a expressão (II) para a velocidade na expressão acima

\[ \begin{gather} a_{cp}=\omega^2r \tag{IV} \end{gather} \]

A aceleração total da partícula será dada pela soma das componentes centrípeta e tangencial

\[ \begin{gather} \mathbf a=\mathbf a_t+\mathbf a_{cp} \end{gather} \]

Usando o Teorema de Pitágoras e as expressões (I) e (IV), (Figura 5)

\[ \begin{gather} a^2=a_t^2+a_{cp}^2 \\[5pt] a^2=(\alpha r)^2+(\omega^2r)^2 \\[5pt] a^2=\alpha^2r^2+\omega^4r^2 \\[5pt] a^2=r^2(\alpha^2+\omega^4) \\[5pt] a=\sqrt{r^2(\alpha^2+\omega^4)} \end{gather} \]

Figura 5

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=r\sqrt{\alpha^2+\omega^4}} \end{gather} \]

b) A componente tangencial da aceleração é responsável pela alteração do módulo da velocidade tangencial, se a aceleração tangencial for nula a velocidade tangencial é constante. A aceleração total coincide com a aceleração centrípeta e a partícula gira em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.)

Figura 6

c) A componente centrípeta da aceleração é responsável pela alteração da direção da partícula, se a aceleração centrípeta for nula a partícula não faz a curva, ela “sai” pela tangente. A aceleração total coincide com a aceleração tangencial e a partícula está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)

Figura 7