Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações
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Para um móvel em Movimento Circular Uniformemente Variado obtenha as expressões para o cálculo da velocidade angular e do espaço angular percorrido em função do tempo, a partir da expressão da velocidade angular instantânea.


Solução

A aceleração angular instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\alpha =\frac{d\omega}{dt}} \]
Integramos esta expressão em dt de ambos os lados
\[ \int {{\frac{d\omega}{dt}dt}}=\int {{\alpha dt}} \]
como a aceleração angular (α) é constante ela "sai" da integral e sendo \( \dfrac{d\omega}{dt}dt=d\omega \), e os limites de integração que vão de ω0, velocidade inicial, até ω(t), a velocidade num instante t qualquer para dω e de t0, instante inicial, até t, um instante qualquer para dt
\[ \begin{gather} \int _{{\omega_{0}}}^{{\omega(t)}}{{d\omega}}=\alpha\int _{{t_{0}}}^{t}{{dt'}}\\ \left.\omega\right|_{\;\omega_{0}}^{\;\omega(t)}=\alpha \left.t'\right|_{\;t_{0}}^{\;t}\\ \omega(t)-\omega_{0}=\alpha \left(t-t_{0}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega(t)=\omega_{0}+\alpha \left(t-t_{0}\right)} \]
que é a expressão da velocidade angular para um corpo em Movimento Circular Uniformemente Variado.
A velocidade angular instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\omega=\frac{d\theta}{dt}} \]
\[ \frac{d\theta}{dt}=\omega_{0}+\alpha \left(t-t_{0}\right) \]
integrando esta expressão em dt de ambos os lados
\[ \int {{\frac{d\theta}{dt}dt}}=\int {{\left[\omega_{0}+\alpha\left(t-t_{0}\right)\right]dt}} \]
na integral do lado esquerdo \( \dfrac{d\theta}{dt}dt=d\theta \), e no lado direito da igualdade a integral da soma é a soma das integrais, e como ω0, t0 e α são constantes elas “saem” da integral, os limites de integração vão de θ0, espaço inicial, até θ(t), o espaço num instante t qualquer para dθ e de t0, instante inicial, até t, um instante qualquer para dt
\[ \begin{gather} \int _{\theta_{0}}^{{\theta(t)}}{{d\theta}}=\omega_{0}\int _{t_{0}}^{t}{{dt}}+\alpha \int _{t_{0}}^{t}{{tdt}}-\alpha t_{0}\int _{t_{0}}^{t}{{dt}}\\[5pt] \left.\theta\right|_{\;\theta_{0}}^{\;\theta(t)}=\omega_{0}\left.t\right|_{\;t_{0}}^{\;t}+\alpha\left.\frac{t'^{2}}{2}\right|_{\;t_{0}}^{\;t}-\alpha t_{0}\left.t\right|_{\;t_{0}}^{\;t}\\[5pt] \theta(t)-\theta_{0}=\omega_{0}\left(t-t_{0}\right)+\alpha\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{t_{0}^{2}}{2}\right)-\alpha t_{0}\left(t-t_{0}\right)\\[5pt] \theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}\left(t-t_{0}\right)+\alpha\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{t_{0}^{2}}{2}-t_{0}t+t_{0}^{2}\right)\\[5pt] \theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}\left(t-t_{0}\right)+\alpha\left(\frac{t^{2}}{2}-t_{0}t+\frac{t_{0}^{2}}{2}\right)\\[5pt] \theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{\alpha}{2}\left(t^{2}-2t_{0}t+t_{0}^{2}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{\alpha}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}} \]
que é a expressão do espaço para um corpo em Movimento Circular Uniformemente Variado.
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