Para um móvel em Movimento Circular Uniformemente Variado obtenha as expressões para o cálculo da velocidade
angular e do espaço angular percorrido em função do tempo, a partir da expressão da velocidade angular instantânea.
Solução:
A aceleração angular instantânea é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\alpha=\frac{d\omega}{dt}}
\end{gather}
\]
Integramos esta expressão em dt de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int{{\frac{d\omega}{dt}dt}}=\int{\alpha dt}
\end{gather}
\]
como a aceleração angular (α) é constante ela "sai" da integral e sendo
\( \dfrac{d\omega}{dt}dt=d\omega\),
e os limites de integração que vão de ω0, velocidade inicial, até ω(t),
a velocidade num instante t qualquer para dω e de t0, instante inicial, até
t, um instante qualquer para dt
\[
\begin{gather}
\int_{{\omega_0}}^{\omega(t)}{d\omega}=\alpha\int_{t_0}^{t}{dt'} \\[5pt]
\left.\omega\right|_{\;\omega_0}^{\;\omega(t)}=\alpha\left.t'\right|_{\;t_0}^{\;t} \\[5pt]
\omega(t)-\omega_0=\alpha\left(t-t_0\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega(t)=\omega_0+\alpha\left(t-t_0\right)}
\end{gather}
\]
que é a expressão da velocidade angular para um corpo em Movimento Circular Uniformemente Variado.
A velocidade angular instantânea é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=\frac{d\theta}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d\theta}{dt}=\omega_0+\alpha\left(t-t_0\right)
\end{gather}
\]
integrando esta expressão em dt de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int{{\frac{d\theta}{dt}dt}}=\int{{\left[\omega_0+\alpha\left(t-t_0\right)\right]dt}}
\end{gather}
\]
na integral do lado esquerdo
\( \frac{d\theta}{dt}dt=d\theta \),
e no lado direito da igualdade a integral da soma é a soma das integrais, e como ω0,
t0 e α são constantes elas “saem” da integral, os limites de integração vão de
θ0, espaço inicial, até θ(t), o espaço num instante t qualquer para dθ
e de t0, instante inicial, até t, um instante qualquer para dt
\[
\begin{gather}
\int_{\theta_0}^{{\theta(t)}}{d\theta}=\omega_0\int_{t_0}^{t}{dt}+\alpha\int_{t_0}^{t}{{tdt}}-\alpha t_0\int_{t_0}^{t}{dt} \\[5pt]
\left.\theta\right|_{\;\theta_0}^{\;\theta(t)}=\omega_0\left.t\right|_{\;t_0}^{\;t}+\alpha\left.\frac{t'^2}{2}\right|_{\;t_0}^{\;t}-\alpha t_0\left.t\right|_{\;t_0}^{\;t} \\[5pt]
\theta(t)-\theta_0=\omega_0\left(t-t_0\right)+\alpha\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t_0^2}{2}\right)-\alpha t_0\left(t-t_0\right) \\[5pt]
\theta(t)=\theta_0+\omega_0\left(t-t_0\right)+\alpha\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t_0^2}{2}-t_0t+t_0^2\right) \\[5pt]
\theta(t)=\theta_0+\omega_0\left(t-t_0\right)+\alpha\left(\frac{t^2}{2}-t_0t+\frac{t_0^2}{2}\right) \\[5pt]
\theta(t)=\theta_0+\omega_0\left(t-t_0\right)+\frac{\alpha}{2}\left(t^2-2t_0t+t_0^2\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta(t)=\theta_0+\omega_0\left(t-t_0\right)+\frac{\alpha}{2}\left(t-t_0\right)^2}
\end{gather}
\]
que é a expressão do espaço para um corpo em Movimento Circular Uniformemente Variado.