Para um móvel em Movimento Circular Uniformemente Variado obtenha as expressões para o cálculo da
velocidade angular e do espaço angular percorrido em função do tempo a partir da expressão da velocidade
angular instantânea.
Solução:
A aceleração angular instantânea é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\alpha=\frac{d\omega}{dt}}
\end{gather}
\]
Integramos esta expressão em dt de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int{{\frac{d\omega}{dt}\;dt}}=\int{\alpha\;dt}
\end{gather}
\]
como a aceleração angular α é constante ela "sai" da integral e sendo
\( \frac{d\omega}{dt}dt=d\omega\)
fazemos
\[
\begin{gather}
\int{d\omega}=\alpha\int{dt} \\[5pt]
\omega(t)+C_1=\alpha t+C_2 \\[5pt]
\omega(t)=\alpha t+C_2-C_1
\end{gather}
\]
C1 e C2 são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma
nova constante C = C2−C1
\[
\begin{gather}
\omega(t)=\alpha t+C \tag{I}
\end{gather}
\]
adotando a condição de que no instante inicial (t0) o móvel está com velocidade angular
inicial ω0, temos a condição inicial
ω(t0)=ω0, substituindo em (I)
\[
\begin{gather}
\omega(t_0)=\alpha t_0+C_1 \\[5pt]
\omega_0=\alpha t_0+C_1 \\[5pt]
C_1=\omega_0-\alpha t_0 \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
\omega(t)=\alpha t+\omega_0-\alpha t_0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega(t)=\omega_0+\alpha\left(t-t_0\right)}
\end{gather}
\]
que descreve a velocidade angular de um corpo em Movimento Circular Uniformemente Variado.
A velocidade angular instantânea é dada por
>
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=\frac{d\theta}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d\theta}{dt}=\omega_0+\alpha\left(t-t_0\right)
\end{gather}
\]
integrando esta expressão em dt de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int{{\frac{d\theta}{dt}dt}}=\int{{\left[\omega_0+\alpha\left(t-t_0\right)\right]dt}}
\end{gather}
\]
na integral do lado esquerdo
\( \dfrac{d\theta}{dt}dt=d\theta \),
e no lado direito da igualdade a integral da soma é a soma das integrais, e como ω0,
t0 e α são constantes elas “saem” da integral
\[
\begin{gather}
\int{{\frac{d\theta}{dt}dt}}=\int{{\left[\omega_0+\alpha\left(t-t_0\right)\right]dt}} \\[5pt]
\theta(t)+C_1=\omega_0t+C_2+\alpha\frac{t^2}{2}+C_3-\alpha t_0t+C_4 \\[5pt]
\theta(t)=\omega_0t+\alpha\frac{t^2}{2}-at_0t+C_2+C_3+C_4-C_1
\end{gather}
\]
C1, C2, C3 e C4 são constantes de
integração que podem ser definidas em função de uma nova constante
C = C2 + C3 + C4 − C1
\[
\begin{gather}
\theta(t)=\omega_0t+\frac{\alpha}{2}\left(t^2-2t_0t\right)+C
\end{gather}
\]
no lado direito, no termo entre parênteses, somamos e subtraímos t02
\[
\begin{gather}
\theta(t)=\omega_0t+\frac{\alpha}{2}\left(t^2-2t_0t+t_0^2-t_0^2\right)+C \\[5pt]
\theta(t)=\omega_0t+\frac{\alpha}{2}\left(t-t_0\right)^2-\frac{a}{2}t_0^2+C \tag{III}
\end{gather}
\]
adotando a condição de que no instante inicial (t0) o móvel está na posição inicial
(θ0), temos a condição inicial
θ(t0) = θO, substituindo na expressão (III)
\[
\begin{gather}
\theta(t_0)=\omega_0t_0+\frac{\alpha}{2}\left(t_0-t_0\right)^2-\frac{\alpha}{2}t_0^2+C \\[5pt]
C=\theta(t_0)-\omega_0t_0-\frac{\alpha}{2}.0^2+\frac{\alpha}{2}t_0^2 \\[5pt]
C=\theta_0-\omega_0t_0+\frac{\alpha}{2}t_0^2 \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
\theta(t)=\omega_0t+\frac{\alpha}{2}\left(t-t_0\right)^2-\frac{\alpha}{2}t_0^2+\theta_0-\omega_0t_0+\frac{\alpha}{2}t_0^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta(t)=\theta_0+\omega_0\left(t-t_0\right)+\frac{\alpha}{2}\left(t-t_0\right)^2}
\end{gather}
\]
que é a expressão do espaço para um corpo em Movimento Circular Uniformemente Variado.