Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações

Obtenha a expressão para o cálculo do espaço angular percorrido em função do tempo no Movimento Circular Uniforme, a partir da expressão da velocidade angular instantânea.

Solução:

A velocidade instantânea é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega=\frac{d\theta}{dt}} \end{gather} \]

Integramos esta expressão em dt de ambos os lados

\[ \begin{gather} \int{{\frac{d\theta}{dt}\;dt}}=\int{\omega\;dt} \end{gather} \]

como a velocidade angular ω é constante ela "sai" da integral e sendo \( \frac{d\theta}{dt}dt=d\theta \).
Os limites de integração vão de θ₀, espaço inicial, até θ(i), o espaço num instante t qualquer para dθ e de t₀, instante inicial, até t, um instante qualquer para dt

\[ \begin{gather} \int_{\theta_0}^{\theta(t)}\;d\theta=\omega\int_{t_0}^{t}\;dt \\[5pt] \left.\theta\;\right|_{\;\theta_0}^{\;\theta(t)}=\omega\;\left.t\;\right|_{\;t_0}^{\;t} \\[5pt] \theta(t)-\theta_0=\omega\left(t-t_0\right) \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta(t)=\theta_0+\omega\left(t-t_0\right)} \end{gather} \]

que é a expressão para um corpo em Movimento Circular Uniforme.