Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações

Obtenha a expressão para o cálculo do espaço angular percorrido em função do tempo no Movimento Circular Uniforme, a partir da expressão da velocidade angular instantânea.

Solução:

A velocidade angular instantânea é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega=\frac{d\theta}{dt}} \end{gather} \]

integramos esta expressão em dt de ambos os lados

\[ \begin{gather} \int{{\frac{d\theta}{dt}dt}}=\int{\omega dt} \end{gather} \]

como a velocidade angular (ω) é constante ela "sai" da integral e sendo \( \frac{d\theta}{dt}dt=d\theta \) fazemos

\[ \begin{gather} \int{d\theta}=\omega\int{dt} \\[5pt] \theta(t)+C_1=\omega t+C_2 \\[5pt] \theta(t)=\omega t+C_2-C_1 \end{gather} \]

C₁ e C₂ são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma nova constante C = C₂−C₁

\[ \begin{gather} \theta(t)=\omega t+C \tag{I} \end{gather} \]

adotando a condição de que no instante inicial (t₀) o móvel está na posição inicial (θ₀), temos a condição inicial θ(t₀) = θ₀, substituindo na expressão (I)

\[ \begin{gather} \theta(t_0)=\omega t_0+C_1 \\[5pt] \theta_0=\omega t_0+C_1 \\[5pt] C_1=\theta_0-\omega t_0 \tag{II} \end{gather} \]

substituindo (II) em (I)

\[ \begin{gather} \theta(t)=\omega t+\theta_0-\omega t_0 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta(t)=\theta_0+\omega\left(t-t_0\right)} \end{gather} \]

que descreve um corpo em Movimento Circular Uniforme.