Um corpo descreve sobre um plano uma curva dada pelas as equações:
\[
\begin{gather}
x=3\cos t-\cos 2t\\
y=3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t
\end{gather}
\]
sendo x e y dados em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração do
ponto no instante t = π/2 s.
Solução:
O movimento do ponto material é a soma vetorial de um movimento ao longo do eixo Ox e outro
movimento ao longo do eixo Oy, as velocidades ao longo desses eixos serão dadas por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dr}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_x=\frac{d}{dt}(3\cos t-\cos 2t)
\end{gather}
\]
Derivada de
\( 3\cos t-\cos 2t \)
A derivada da diferença é a diferença das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\cos t-\cos 2t)=\frac{d}{dt}(3\cos t)-\frac{d}{dt}(\cos 2t) \tag{I}
\end{gather}
\]
A derivada de
\( 3\cos t \)
é
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\cos t)=-3\operatorname{sen}t \tag{II}
\end{gather}
\]
A função
\( \cos 2t \)
é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{dg}{dh}\;\frac{dh}{dt} \tag{III}
\end{gather}
\]
com
\( g(h)=\cos h \)
e
\( h(t)=2t \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{dg}{dh}=-\operatorname{sen}h \tag{IV}\\[5pt]
&\frac{dh}{dt}=2 t^{1-1}=2 \tag{V}
\end{align}
\]
substituindo as equações (IV) e (V) na equação (III)
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=-2\operatorname{sen}2t \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II) e (VI) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\cos t-\cos 2t)=-3\operatorname{sen}t-(-2\operatorname{sen}2t)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_x=-3\operatorname{sen}t+2\operatorname{sen}2t \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_y=\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t)
\end{gather}
\]
Derivada de
\( 3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t \)
A derivada da diferença é a diferença das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t)=\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t)-\frac{d}{dt}(\operatorname{sen}2t) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A derivada de
\( 3\operatorname{sen}t \)
é
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t)=3\cos t \tag{IX}
\end{gather}
\]
A função
\( \operatorname{sen}2t \)
é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{dg}{dh}\;\frac{dh}{dt} \tag{X}
\end{gather}
\]
com
\( g(h)=\operatorname{sen}h \)
e
\( h(t)=2t \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{dg}{dh}=\cos h \tag{XI}\\[5pt]
&\frac{dh}{dt}=2 \tag{XII}
\end{align}
\]
substituindo as equações (XI) e (XII) na equação (X)
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=2\cos 2t \tag{XIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (IX) e (XIII) na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t)=3\cos t-2\operatorname{sen}2t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_y=3\cos t-2\cos 2t \tag{XIV}
\end{gather}
\]
para \( t=\dfrac{\pi}{2}\;\text{s} \)
\[
\begin{gather}
v_x=-3\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}+2\operatorname{sen}2\times\frac{\pi}{2}\\
v_x=-3\times 1+2\operatorname{sen}\pi\\
v_x=-3+0\\
v_x=-3\;\text{m/s} \tag{XV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_y=3\cos \frac{\pi}{2}-2\cos 2\times\frac{\pi}{2}\\
v_y=3\times 0-2\cos \pi \\
v_y=0-2\times(-1)\\
v_y=2\;\text{
m/s} \tag{XVI}
\end{gather}
\]
das equações (XV) e (XVI) o vetor velocidade será
\[
\begin{gather}
\vec v={\vec v}_x+{\vec v}_y
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\vec v=-3\;\mathbf{\text{i}}+2\;\mathbf{\text{j}}}
\end{gather}
\]
onde i e j são os vetores unitários nas direções x e y. O módulo da velocidade será
\[
\begin{gather}
v^2=v_x^2+v_y^2\\
v^2=(-3)^2+2^2\\
v^2=9+2\\
v=\sqrt{13\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v=3,6\;\text{m/s}}
\end{gather}
\]
As acelerações ao longo dos eixos serão dadas por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_x=\frac{d}{dt}(-3\operatorname{sen}t+2\operatorname{sen}2t)
\end{gather}
\]
as derivadas de
\( 3\operatorname{sen}t \)
e
\( \operatorname{sen}2t \)
já foram determinadas nas equações (IX) e (XIII) acima
\[
\begin{gather}
\frac{dv_x}{dt}=-3\cos t+2\times 2\cos 2t\\
a_x=-3\cos t+4\cos 2t \tag{XVII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_y=\frac{dv_y}{dt}(3\cos t-2\cos 2t)
\end{gather}
\]
as derivadas de
\( 3\cos t \)
e
\( \cos 2t \)
já foram determinadas nas equações (II) e (VI) acima
\[
\begin{gather}
\frac{dv_y}{dt}=-3\operatorname{sen}t-2\times(-2\operatorname{sen}2t)\\
a_y=-3\operatorname{sen}t+4\operatorname{sen}2t \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
para \( t=\dfrac{\pi }{2}\;\text{s} \)
\[
\begin{gather}
a_x=-3\cos \frac{\pi}{2}+4\cos 2\times\frac{\pi}{2}\\
a_x=-3\times 0+4\cos \pi\\
a_x=0+4\times(-1)\\
a_x=-4\;\text{m/s}^2 \tag{XIX}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_y=-3\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}+4\operatorname{sen}2\times\frac{\pi}{2}\\
a_y=-3\times 1+4\operatorname{sen}\pi\\
a_y=-3+4\times 0\\a_y=-3\;\text{m/s} \tag{XX}
\end{gather}
\]
das equações (XIX) e (XX) o vetor aceleração será
\[
\begin{gather}
\vec a={\vec a}_x+{\vec a}_y
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\vec a=-4\;\mathbf{\text{i}}-3\;\mathbf{\text{j}}}
\end{gather}
\]
O módulo da aceleração será
\[
\begin{gather}
a^2=a_x^2+a_y^2\\
a^2=(-4)^2+(-3)^2\\
a^2=16+9\\
a=\sqrt{25\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=5\;\text{m/s}^2}
\end{gather}
\]
EN