Exercício Resolvido de Cinemática
Português
English
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Um corpo descreve sobre um plano uma curva dada pelas as equações:
\[
\begin{gather}
x=3\cos t-\cos 2t\\
y=3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t
\end{gather}
\]
sendo x e y dados em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração do
ponto no instante t = π/2 s.
Solução
O movimento do ponto material é a soma vetorial de um movimento ao longo do eixo Ox e outro movimento ao longo do eixo Oy, as velocidades ao longo desses eixos serão dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dr}{dt}}
\]
\[
v_{x}=\frac{d}{dt}(3\cos t-\cos 2t)
\]
Derivada de \( 3\cos t-\cos 2t \)
A derivada da diferença é a diferença das derivadas
A derivada da diferença é a diferença das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\cos t-\cos 2t)=\frac{d}{dt}(3\cos t)-\frac{d}{dt}(\cos 2t) \tag{I}
\end{gather}
\]
A derivada de
\( 3\cos t \)
é
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\cos t)=-3\operatorname{sen}t \tag{II}
\end{gather}
\]
A função
\( \cos 2t \)
é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{dg}{dh}\;\frac{dh}{dt} \tag{III}
\end{gather}
\]
com
\( g(h)=\cos h \)
e
\( h(t)=2t \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{dg}{dh}=-\operatorname{sen}h \tag{IV}\\[5pt]
&\frac{dh}{dt}=2 t^{1-1}=2 \tag{V}
\end{align}
\]
substituindo as expressões (IV) e (V) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=-2\operatorname{sen}2t \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (VI) na expressão (I)
\[
\frac{d}{dt}(3\cos t-\cos 2t)=-3\operatorname{sen}t-(-2\operatorname{sen}2t)
\]
\[
\begin{gather}
v_{x}=-3\operatorname{sen}t+2\operatorname{sen}2t \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
v_{y}=\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t)
\]
Derivada de \( 3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t \)
A derivada da diferença é a diferença das derivadas
A derivada da diferença é a diferença das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t)=\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t)-\frac{d}{dt}(\operatorname{sen}2t) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A derivada de
\( 3\operatorname{sen}t \)
é
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t)=3\cos t \tag{IX}
\end{gather}
\]
A função
\( \operatorname{sen}2t \)
é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=\frac{dg}{dh}\;\frac{dh}{dt} \tag{X}
\end{gather}
\]
com
\( g(h)=\operatorname{sen}h \)
e
\( h(t)=2t \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{dg}{dh}=\cos h \tag{XI}\\[5pt]
&\frac{dh}{dt}=2 \tag{XII}
\end{align}
\]
substituindo as expressões (XI) e (XII) na expressão (X)
\[
\begin{gather}
\frac{dg[h(t)]}{dt}=2\cos 2t \tag{XIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IX) e (XIII) na expressão (VIII)
\[
\frac{d}{dt}(3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t)=3\cos t-2\operatorname{sen}2t
\]
\[
\begin{gather}
v_{y}=3\cos t-2\cos 2t \tag{XIV}
\end{gather}
\]
para \( t=\dfrac{\pi}{2}\;\text{s} \)
\[
\begin{gather}
v_{x}=-3\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}+2\operatorname{sen}2.\frac{\pi}{2}\\
v_{x}=-3.1+2\operatorname{sen}\pi\\
v_{x}=-3+0\\
v_{x}=-3\;\text{m/s} \tag{XV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{y}=3\cos \frac{\pi}{2}-2\cos 2.\frac{\pi}{2}\\
v_{y}=3.0-2\cos \pi \\
v_{y}=0-2.(-1)\\
v_{y}=2\;\text{
m/s} \tag{XVI}
\end{gather}
\]
das expressões (XV) e (XVI) o vetor velocidade será
\[
\vec{v}={\vec{v}}_{x}+{\vec{v}}_{y}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\vec{v}=-3\;\mathbf{\text{i}}+2\;\mathbf{\text{j}}}
\]
onde i e j são os vetores unitários nas direções x e y. O módulo da velocidade será
\[
\begin{gather}
v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\\
v^{2}=(-3)^{2}+2^{2}\\
v^{2}=9+2\\
v=\sqrt{13\;}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v=3,6\;\text{m/s}}
\]
As acelerações ao longo dos eixos serão dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\]
\[
a_{x}=\frac{d}{dt}(-3\operatorname{sen}t+2\operatorname{sen}2t)
\]
as derivadas de
\( 3\operatorname{sen}t \)
e
\( \operatorname{sen}2t \)
já foram determinadas nas expressões (IX) e (XIII) acima
\[
\begin{gather}
\frac{dv_{x}}{dt}=-3\cos t+2.2\cos 2t\\
a_{x}=-3\cos t+4\cos 2t \tag{XVII}
\end{gather}
\]
\[
a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt}(3\cos t-2\cos 2t)
\]
as derivadas de
\( 3\cos t \)
e
\( \cos 2t \)
já foram determinadas nas expressões (II) e (VI) acima
\[
\begin{gather}
\frac{dv_{y}}{dt}=-3\operatorname{sen}t-2.(-2\operatorname{sen}2t)\\
a_{y}=-3\operatorname{sen}t+4\operatorname{sen}2t \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
para \( t=\dfrac{\pi }{2}\;\text{s} \)
\[
\begin{gather}
a_{x}=-3\cos \frac{\pi}{2}+4\cos 2.\frac{\pi}{2}\\
a_{x}=-3.0+4\cos \pi\\
a_{x}=0+4.(-1)\\
a_{x}=-4\;\text{m/s}^{2} \tag{XIX}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{y}=-3\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}+4\operatorname{sen}2.\frac{\pi}{2}\\
a_{y}=-3.1+4\operatorname{sen}\pi\\
a_{y}=-3+4.0\\a_{y}=-3\;\text{m/s} \tag{XX}
\end{gather}
\]
das expressões (XIX) e (XX) o vetor aceleração será
\[
\vec{a}={\vec{a}}_{x}+{\vec{a}}_{y}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\vec{a}=-4\;\mathbf{\text{i}}-3\;\mathbf{\text{j}}}
\]
O módulo da aceleração será
\[
\begin{gather}
a^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}\\
a^{2}=(-4)^{2}+(-3)^{2}\\
a^{2}=16+9\\
a=\sqrt{25\;}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a=5\;\text{m/s}^{2}}
\]
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