Um ponto material descreve uma curva plana, de maneira tal que suas posições em relação a um sistema
cartesiano ortogonal, tomado nesse plano, variam com o tempo segundo as equações:
\[
\begin{gather}
x=t^3-2t \\[5pt]
y=4t^2
\end{gather}
\]
sendo x e y dados em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração
do ponto no instante t = 2 s.
Solução:
O movimento do ponto material é a soma vetorial de um movimento ao longo do eixo Ox e outro
movimento ao longo do eixo Oy, as velocidades ao longo desses eixos serão dadas por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dr}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=3t^{3-1}-2^{2-1} \\[5pt]
v_x=3t^2-2 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dy}{dt}=2\times 4t^{2-1} \\[5pt]
v_y=8t \tag{II}
\end{gather}
\]
para t = 2 s
\[
\begin{gather}
v_x=3\times 2^2-2 \\[5pt]
v_x=3\times 4-2 \\[5pt]
v_x=12-2 \\[5pt]
v_x=10\;\text{m/s} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_y=8\times 2 \\[5pt]
v_y=16\;\text{m/s} \tag{IV}
\end{gather}
\]
com as equações (III) e (IV) o vetor velocidade será
\[
\begin{gather}
\vec v={\vec v}_x+{\vec v}_y
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\vec v=10\;\mathbf i+16\;\mathbf j}
\end{gather}
\]
onde i e j são os vetores unitários nas direções x e y. O módulo da velocidade será
\[
\begin{gather}
v^2=v_x^2+v_y^2 \\[5pt]
v^2=10^2+16^2 \\[5pt]
v^2=100+256 \\[5pt]
v=\sqrt{356\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v=18,9\;\text{m/s}}
\end{gather}
\]
As acelerações ao longo dos eixos serão dadas por
\[
\begin{gather}
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
Com as equações (I) e (II) obtemos as acelerações nas direções i e j
\[
\begin{gather}
\frac{dv_x}{dt}=2\times 3t^{2-1}-0 \\[5pt]
a_x=6t \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dv_y}{dt}=8t^{1-1} \\[5pt]
a_y=8 \tag{VI}
\end{gather}
\]
para t = 2 s
\[
\begin{gather}
a_x=6\times 2 \\[5pt]
a_x=12\;\text{m/s}^2 \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_y=8\;\text{m/s}^2 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
com as equações (VII) e (VIII) o vetor aceleração será
\[
\begin{gather}
\vec a={\vec a}_x+{\vec a}_y
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\vec a=12\;\mathbf i+8\;\mathbf j}
\end{gather}
\]
O módulo da aceleração será
\[
\begin{gather}
a^2=a_x^2+a_y^2 \\[5pt]
a^2=12^2+8^2 \\[5pt]
a^2=144+64 \\[5pt]
a=\sqrt{208\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=14,4\;\text{m/s}^2}
\end{gather}
\]
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