Exercício Resolvido de Cinemática
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Um ponto material descreve uma curva plana, de maneira tal que suas posições em relação a um sistema cartesiano ortogonal, tomado nesse plano, variam com o tempo segundo as equações:
\[
\begin{gather}
x=t^{3}-2t\\[8pt]
y=4t^{2}
\end{gather}
\]
sendo x e y dados em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração do ponto
no instante t = 2 s.
Solução
O movimento do ponto material é a soma vetorial de um movimento ao longo do eixo Ox e outro movimento ao longo do eixo Oy, as velocidades ao longo desses eixos serão dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dr}{dt}}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=3t^{3-1}-2^{2-1}\\
v_{x}=3t^{2}-2 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dy}{dt}=2.4t^{2-1}\\
v_{y}=8t \tag{II}
\end{gather}
\]
para t = 2 s
\[
\begin{gather}
v_{x}=3.2^{2}-2\\
v_{x}=3.4-2\\
v_{x}=12-2\\
v_{x}=10\;\text{m/s} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{y}=8.2\\
v_{y}=16\;\text{m/s} \tag{IV}
\end{gather}
\]
com as expressões (III) e (IV) o vetor velocidade será
\[
\vec{v}={\vec{v}}_{x}+{\vec{v}}_{y}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\vec{v}=10\;\mathbf{\text{i}}+16\;\mathbf{\text{j}}}
\]
onde i e j são os vetores unitários nas direções x e y.
O módulo da velocidade será
\[
\begin{gather}
v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\\
v^{2}=10^{2}+16^{2}\\
v^{2}=100+256\\
v=\sqrt{356\;}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v=18,9\;\text{m/s}}
\]
As acelerações ao longo dos eixos serão dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\]
Com as expressões (I) e (II) obtemos as acelerações nas direções i e j
\[
\begin{gather}
\frac{dv_{x}}{dt}=2.3t^{2-1}-0\\
a_{x}=6t \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dv_{y}}{dt}=8t^{1-1}\\
a_{y}=8 \tag{VI}
\end{gather}
\]
para t = 2 s
\[
\begin{gather}
a_{x}=6.2\\
a_{x}=12\;\text{m/s}^{2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{y}=8\;\text{m/s}^{2} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
com as expressões (VII) e (VIII) o vetor aceleração será
\[
\vec{a}={\vec{a}}_{x}+{\vec{a}}_{y}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\vec{a}=12\;\mathbf{\text{i}}+8\;\mathbf{\text{j}}}
\]
O módulo da aceleração será
\[
\begin{gather}
a^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}\\
a^{2}=12^{2}+8^{2}\\
a^{2}=144+64\\
a=\sqrt{208\;}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a=14,4\;\text{m/s}^{2}}
\]
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