Um móvel está sobre um plano-xy, inicialmente em repouso na posição x0 sobre o
eixo-x positivo. Ele começa a se movimentar com velocidades constantes vx, no
sentido da origem, e vy no sentido do eixo-y positivo. Determinar depois de quanto
tempo este móvel se encontrará a distância mínima da origem e, qual é essa distância mínima.
Dados do problema:
- Posição inicial do móvel: x0;
- Velocidade do móvel na direção x: vx;
- Velocidade do móvel na direção y: vy.
Esquema do problema:
Como as componentes da velocidade são constantes a trajetória será uma reta (Figura 1-A).
Ao longo da trajetória o móvel passa sucessivamente pelos pontos P0,
P1, P2, PP, P3 e assim por diante,
localizados pelos vetores posição r0, r1, r2,
rP, r3, respectivamente. O ponto de menor distância à origem será o
ponto PP onde o vetor rP é perpendicular a um vetor da
trajetória (Figura 1-B).
Solução:
O vetor posição rP é escrito como
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_{\small P}={\mathbf r}_0+\mathbf v t \tag{I}
\end{gather}
\]
que é a equação vetorial para o Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), o vetor posição
inicial r0 só possui componente ao longo da direção x,
\( {\mathbf r}_0={x}_0\;\mathbf i \),
o vetor ao longo da trajetória possui componentes nas direções x e y,
\( \mathbf v\;t=-v_xt\;\mathbf i+v_yt\;\mathbf j \)
(Figura 2-A), assim a equação (I) pode ser escrita como
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_{\small P}={x}_0\;\mathbf i+\left(-{v}_xt\;\mathbf i+{v}_yt\;\mathbf j\right) \\[5pt]
{\mathbf r}_{\small P}={x}_0\;\mathbf i-{v}_xt\;\mathbf i+{v}_yt\;\mathbf j \\[5pt]
{\mathbf r}_{\small P}=\left({x}_0-{v}_xt\right)\;\mathbf i+{v}_yt\;\mathbf j \tag{II}
\end{gather}
\]
O vetor deslocamento
\( \mathbf{s}=-v_xt\;\mathbf i+v_yt\;\mathbf j \)
é paralelo a trajetória (Figura 2-B), para que os vetores rP e s
sejam perpendiculares entre si devemos ter a condição de que o Produto Escalar entre eles seja nulo
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_{P}\cdot{\mathbf{s}}=0\\[5pt]
\left[\left(x_0-v_xt\right)\;\mathbf i+v_yt\;\mathbf j\right]\cdot\left[-v_xt\;\mathbf i+v_yt\;\mathbf j\right]=0 \\[5pt]
\left(x_0-v_xt\right)\left(-v_xt\right)\underbrace{\mathbf i\cdot\mathbf i}_1+v_yt\;v_yt\underbrace{\mathbf j\cdot\mathbf j}_1=0 \\[5pt]
-x_0v_xt+v_x^2t^2+v_y^2t^2=0 \\[5pt]
t\left(-x_0v_x+v_x^2t+v_y^2t\right)=0
\end{gather}
\]
desta equação temos dois valores para o tempo
\[
\begin{gather}
t=0 \\[5pt]
\text{ou} \\[5pt]
-x_0v_x+v_x^2t+v_y^2t=0 \\[5pt]
t\left(v_x^2+v_y^2\right)=x_0v_x
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}}
\end{gather}
\]
Substituindo este valor na equação (II) temos o vetor posição que dá a distância mínima do móvel à origem
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_{\small P}=\left({x}_0-{v}_x\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}\right)\;\mathbf i+{v}_yt\;\mathbf j
\end{gather}
\]
que tem como módulo
\[
\begin{gather}
r_{\small P}=\sqrt{\left(x_0-v_x\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}\right)^2+\left(v_y\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}\right)^2\;} \\[5pt]
r_{\small P}=\sqrt{\left(\frac{x_0(v_x^2+v_y^2)-x_0v_x^2}{v_x^2+v_y^2}\right)^2+\left(\frac{x_0v_xv_y}{v_x^2+v_y^2}\right)^2\;} \\[5pt]
r_{\small P}=\sqrt{\;\left(\frac{{x}_0v_y^2}{v_x^2+v_y^2}\right)^2+\left(\frac{x_0v_x{v}_y}{v_x^2+v_y^2}\right)^2\;} \\[5pt]
r_{\small P}=\sqrt{\frac{{x}_0^2v_y^4+x_0^2v_x^2v_y^2}{(v_x^2+v_y^2)^2}\;} \\[5pt]
r_{\small P}=\sqrt{\frac{{x}_0^2v_y^2(v_y^2+v_y^2)}{(v_x^2+v_y^2)^2}\;} \\[5pt]
r_{\small P}=\sqrt{\frac{{x}_0^2v_y^2}{v_x^2+v_y^2}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{r_{\small P}=\frac{{x}_0v_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2\;}}}
\end{gather}
\]
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