Exercício Resolvido de Cinemática
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Dois pontos materiais percorrem trajetórias perpendiculares entre si que se cruzam numa origem comum. Os
móveis partem simultaneamente do repouso de pontos x0 e y0 situados
sobre as trajetórias em direção a origem em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
(M.R.U.V.) ambos com a mesma aceleração em módulo igual a a. Calcular:
a) Depois de quanto tempo da partida a distância entre os móveis é mínima;
b) Qual é a mínima distância.
Dados do problema:
- Posição inicial do móvel 1: x0;
- Velocidade inicial do móvel 1: v0x = 0;
- Aceleração do móvel 1: −a;
- Posição inicial do móvel 2: y0;
- Velocidade inicial do móvel 2: v0y = 0;
- Aceleração do móvel 2: −a;
Esquema do problema:
Vamos adotar que os pontos de partida dos corpos são positivos (x0 > 0 e
y0 > 0). Como eles se movimentam em direção a origem suas acelerações estão contra
a orientação das trajetórias e são negativas (a < 0).
Em um determinado instante eles ocupam pontos x e y de tal modo que a distância d entre eles é mínima (Figura 1).
Em um determinado instante eles ocupam pontos x e y de tal modo que a distância d entre eles é mínima (Figura 1).
Solução:
a) Os corpos estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) dado pela equação
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{a}{2}(t-t_0)^2}
\end{gather}
\]
escrevendo as equações de movimento para os dois móveis em t0 = 0
\[
\begin{gather}
x=x_0+v_{0x}t-\frac{a}{2}t^2 \\[5pt]
x=x_0+0\times t-\frac{a}{2}t^2 \\[5pt]
x=x_0-\frac{a}{2}t^2 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
y=y_0+v_{0y}t-\frac{a}{2}t^2 \\[5pt]
y=y_0+0\times t-\frac{a}{2}t^2 \\[5pt]
y=y_0-\frac{a}{2}t^2 \tag{II}
\end{gather}
\]
Da Figura 1 calculamos a distância entre os móveis utilizando o Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
s^2=x^2+y^2 \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (I) e (II) na equação (III)
\[
\begin{gather}
s=\left[\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{\;1/2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos o instante em que a distância é mínima devemos derivar a equação (IV) em função do tempo e impor que ela seja igual a zero.
Derivada de
\( \displaystyle s=\left[\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{\;1/2} \)
A função s(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[ \displaystyle s=\left[\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{\;1/2} \]
A função s(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{ds[g(t)]}{dt}=\frac{ds}{dg}\;\frac{dg}{dt} \tag{V}
\end{gather}
\]
com
\( s(g)=g^{1/2} \)
e
\( g(t)=\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2 \text{,} \)
\[ g(t)=\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2 \]
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{ds}{dg}=\frac{1}{2}g^{1/2-1}=\frac{1}{2}g^{\frac{1-2}{2}}=\frac{1}{2}g^{-{1/2}}=\frac{1}{2}\left[\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}} \tag{VI} \\[10pt]
&\frac{dg}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right] \tag{VII}
\end{align}
\]
substituindo as equações (VI) e (VII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\frac{ds[g(t)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}}\;\frac{d}{dt}\left[\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right] \tag{VIII}
\end{gather}
\]
a derivada da soma é a soma das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{dg}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\frac{d}{dt}\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2 \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IX) na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{ds[g(t)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}}\;\left[\frac{d}{dt}\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2+\frac{d}{dt}\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2\right] \tag{X}
\end{gather}
\]
cada uma das funções entre parênteses é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dh[u(t)]}{dt}=\frac{dh}{du}\;\frac{du}{dt} \tag{XI}
\end{gather}
\]
aplicando a equação (XI) ao termo
\( \displaystyle \left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2 \)
da equação (X), com
\( h(u)=u^2 \)
e
\( \displaystyle u(t)=\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right) \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{gather}
\frac{dh}{du}=2u^{2-1}=2u \tag{XII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{du}{dt}=\left(0-2\frac{a}{2}t^{2-1}\right)=-at \tag{XIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (XII) e (XIII) na equação (XI)
\[
\begin{gather}
\frac{du[h(t)]}{dt}=-2\left(x_0-\frac{a}{2}t^2\right)at \tag{XIV}
\end{gather}
\]
novamente usando a regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{df[v(t)]}{dt}=\frac{df}{dv}\;\frac{dv}{dt} \tag{XV}
\end{gather}
\]
aplicando a equação (XV) ao termo
\( \displaystyle \left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)^2 \)
da equação (X), com
\( f(v)=v^2 \)
e
\( \displaystyle v(t)=\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right) \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{df}{dv}=2v^{2-1}=2v \tag{XVI} \\[10pt]
&\frac{dv}{dt}=\left(0-2\frac{a}{2}t^{2-1}\right)=-at \tag{XVII}
\end{align}
\]
substituindo as equações (XVI) e (XVII) na equação (XV)
\[
\begin{gather}
\frac{df[v(t)]}{dt}=-2\left(y_0-\frac{a}{2}t^2\right)at \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (XIV) e (XVIII) na equação (X)
\[
\begin{gather}
\frac{ds}{dt}=\frac{1}{2}\left[\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}}\;\left[-2\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)at-2\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)at\right] \\[5pt]
\frac{ds}{dt}=\frac{1}{\cancel{2}}\frac{(-\cancel{2}at)\;\left[\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)\right]}{\left[\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}}} \\[5pt]
\frac{ds}{dt}=-{\frac{at\;\left[x_0-\dfrac{a}{2}t^2+y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right]}{\left[\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}}}} \\[5pt]
\frac{ds}{dt}=-{\frac{at\;\left[x_0+y_0-at^2\right]}{\left[\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}}}} \tag{XIX}
\end{gather}
\]
Impondo a condição de que a derivada deve ser nula \( \left(\frac{ds}{dt}=0\right) \), temos na equação (V)
\[
\begin{gather}
-{\frac{at\;\left[x_0+y_0-at^2\right]}{\left[\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}}}}=0 \\[5pt]
x_0+y_0-at^2=-{\frac{0}{at}.\left[\left(x_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2+\left(y_0-\dfrac{a}{2}t^2\right)^2\right]^{-{1/2}}} \\[5pt]
x_0+y_0-at^2=0\\at^2=x_0+y_0 \\[5pt]
t^2=\frac{x_0+y_0}{a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\sqrt{\frac{x_0+y_0}{a}\;}}
\end{gather}
\]
b) A distância mínima é obtida substituindo-se o valor do tempo encontrado no item (a) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
s=\left[\left(x_0-\frac{a}{2}\left(\sqrt{\frac{x_0+y_0}{a}\;}\right)^2\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}\left(\sqrt{\frac{x_0+y_0}{a}\;}\right)^2\right)^2\right]^{\;1/2} \\[5pt]
s=\left[\left(x_0-\frac{a}{2}\left(\frac{x_0+y_0}{a}\right)\right)^2+\left(y_0-\frac{a}{2}\left(\frac{x_0+y_0}{a}\right)^2\right)^2\right]^{\;1/2} \\[5pt]
s=\left[\left(x_0-\frac{x_0}{2}-\frac{y_0}{2}\right)^2+\left(y_0-\frac{x_0}{2}-\frac{y_0}{2}\right)^2\right]^{\;1/2} \\[5pt]
s=\left[\left(\frac{x_0}{2}-\frac{y_0}{2}\right)^2+\left(\frac{y_0}{2}-\frac{x_0}{2}\right)^2\right]^{\;1/2} \\[5pt]
s=\left[\frac{1}{4}\left(x_0-y_0\right)^2+\frac{1}{4}\left(y_0-x_0\right)^2\right]^{\;1/2} \\[5pt]
s=\frac{1}{2}\left[x_0^2-2x_0y_0+y_0^2+y_0^2-2y_0x_0+x_0^2\right]^{\;1/2} \\[5pt]
s=\frac{1}{2}\left[2x_0^2-4x_0y_0+2y_0^2\right]^{\;1/2} \\[5pt]
s=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[x_0^2-2x_0y_0+y_0^2\right]^{\;1/2} \\[5pt]
s=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\left(x_0-y_0\right)^2\right]^{\;1/2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{s=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x_0-y_0\right)}
\end{gather}
\]
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