Exercício Resolvido de Cinemática
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Dois pontos materiais percorrem trajetórias perpendiculares entre si que se cruzam numa origem comum. Os móveis partem simultaneamente do repouso de pontos x0 e y0 situados sobre as trajetórias em direção a origem em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) ambos com a mesma aceleração em módulo igual a a. Calcular:
a) Depois de quanto tempo da partida a distância entre os móveis é mínima;
b) Qual é a mínima distância.
Dados do problema:
- Posição inicial do móvel 1: x0;
- Velocidade inicial do móvel 1: v0x = 0;
- Aceleração do móvel 1: −a;
- Posição inicial do móvel 2: y0;
- Velocidade inicial do móvel 2: v0y = 0;
- Aceleração do móvel 2: −a;
Vamos adotar que os pontos de partida dos corpos são positivos (x0 > 0 e
y0 > 0). Como eles se movimentam em direção a origem suas acelerações estão contra
a orientação das trajetórias e são negativas (a < 0).
Em um determinado instante eles ocupam pontos x e y de tal modo que a distância d entre eles é mínima (Figura 1).
Em um determinado instante eles ocupam pontos x e y de tal modo que a distância d entre eles é mínima (Figura 1).
a) Os corpos estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) dado pela equação
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{x(t)=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+\frac{a}{2}(t-t_{0})^{2}}
\]
escrevendo as equações de movimento para os dois móveis em t0 = 0
\[
\begin{gather}
x=x_{0}+v_{0x}t-\frac{a}{2}t^{2}\\
x=x_{0}+0.t-\frac{a}{2}t^{2}\\
x=x_{0}-\frac{a}{2}t^{2} \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
y=y_{0}+v_{0y}t-\frac{a}{2}t^{2}\\
y=y_{0}+0.t-\frac{a}{2}t^{2}\\
y=y_{0}-\frac{a}{2}t^{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Da Figura 1 calculamos a distância entre os móveis utilizando o Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
s^{2}=x^{2}+y^{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I) e (II) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
s=\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos o instante em que a distância é mínima devemos derivar a expressão (IV) em função do tempo
e impor que ela seja igual a zero.
Derivada de
\( \displaystyle s=\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}} \)
A função s(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[ \displaystyle s=\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}} \]
A função s(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{ds[g(t)]}{dt}=\frac{ds}{dg}\;\frac{dg}{dt} \tag{V}
\end{gather}
\]
com
\( s(g)=g^{\frac{\;1}{2}} \)
e
\( g(t)=\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2} \text{,} \)
\[ g(t)=\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2} \]
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{ds}{dg}=\frac{1}{2}g^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}g^{\frac{1-2}{2}}=\frac{1}{2}g^{-{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}} \tag{VI}\\[10pt]
&\frac{dg}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right] \tag{VII}
\end{align}
\]
substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
\frac{ds[g(t)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\frac{d}{dt}\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right] \tag{VIII}
\end{gather}
\]
a derivada da soma é a soma das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{dg}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\frac{d}{dt}\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\frac{ds[g(t)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\left[\frac{d}{dt}\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\frac{d}{dt}\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right] \tag{X}
\end{gather}
\]
cada uma das funções entre parênteses é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dh[u(t)]}{dt}=\frac{dh}{du}\;\frac{du}{dt} \tag{XI}
\end{gather}
\]
aplicando a expressão (XI) ao termo
\( \displaystyle \left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2} \)
da expressão (X), com
\( h(u)=u^{2} \)
e
\( \displaystyle u(t)=\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right) \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{gather}
\frac{dh}{du}=2u^{2-1}=2u \tag{XII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{du}{dt}=\left(0-2\frac{a}{2}t^{2-1}\right)=-at \tag{XIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (XII) e (XIII) na expressão (XI)
\[
\begin{gather}
\frac{du[h(t)]}{dt}=-2\left(x_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)at \tag{XIV}
\end{gather}
\]
novamente usando a regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{df[v(t)]}{dt}=\frac{df}{dv}\;\frac{dv}{dt} \tag{XV}
\end{gather}
\]
aplicando a expressão (XV) ao termo
\( \displaystyle \left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)^{2} \)
da expressão (X), com
\( f(v)=v^{2} \)
e
\( \displaystyle v(t)=\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right) \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
&\frac{df}{dv}=2v^{2-1}=2v \tag{XVI} \\[10pt]
&\frac{dv}{dt}=\left(0-2\frac{a}{2}t^{2-1}\right)=-at \tag{XVII}
\end{align}
\]
substituindo as expressões (XVI) e (XVII) na expressão (XV)
\[
\begin{gather}
\frac{df[v(t)]}{dt}=-2\left(y_{0}-\frac{a}{2}t^{2}\right)at \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (XIV) e (XVIII) na expressão (X)
\[
\begin{gather}
\frac{ds}{dt}=\frac{1}{2}\left[\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}\;\left[-2\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)at-2\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)at\right]\\[5pt]
\frac{ds}{dt}=\frac{1}{\cancel{2}}\frac{(-\cancel{2}at)\;\left[\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)\right]}{\left[\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}}\\[5pt]
\frac{ds}{dt}=-{\frac{at\;\left[x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}+y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right]}{\left[\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}}}\\[5pt]
\frac{ds}{dt}=-{\frac{at\;\left[x_{0}+y_{0}-at^{2}\right]}{\left[\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}}} \tag{XIX}
\end{gather}
\]
Impondo a condição de que a derivada deve ser nula \( \left(\frac{ds}{dt}=0\right) \), temos na expressão (V)
\[
\begin{gather}
-{\frac{at\;\left[x_{0}+y_{0}-at^{2}\right]}{\left[\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}}}=0\\[5pt]
x_{0}+y_{0}-at^{2}=-{\frac{0}{at}.\left[\left(x_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\dfrac{a}{2}t^{2}\right)^{2}\right]^{-{\frac{1}{2}}}}\\[5pt]
x_{0}+y_{0}-at^{2}=0\\at^{2}=x_{0}+y_{0}\\[5pt]
t^{2}=\frac{x_{0}+y_{0}}{a}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\sqrt{\frac{x_{0}+y_{0}}{a}\;}}
\]
b) A distância mínima é obtida substituindo-se o valor do tempo encontrado no item (a) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
s=\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}\left(\sqrt{\frac{x_{0}+y_{0}}{a}\;}\right)^{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}\left(\sqrt{\frac{x_{0}+y_{0}}{a}\;}\right)^{2}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}\\
s=\left[\left(x_{0}-\frac{a}{2}\left(\frac{x_{0}+y_{0}}{a}\right)\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{a}{2}\left(\frac{x_{0}+y_{0}}{a}\right)^{2}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}\\
s=\left[\left(x_{0}-\frac{x_{0}}{2}-\frac{y_{0}}{2}\right)^{2}+\left(y_{0}-\frac{x_{0}}{2}-\frac{y_{0}}{2}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}\\
s=\left[\left(\frac{x_{0}}{2}-\frac{y_{0}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y_{0}}{2}-\frac{x_{0}}{2}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}\\
s=\left[\frac{1}{4}\left(x_{0}-y_{0}\right)^{2}+\frac{1}{4}\left(y_{0}-x_{0}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}\\
s=\frac{1}{2}\left[x_{0}^{2}-2x_{0}y_{0}+y_{0}^{2}+y_{0}^{2}-2y_{0}x_{0}+x_{0}^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}\\
s=\frac{1}{2}\left[2x_{0}^{2}-4x_{0}y_{0}+2y_{0}^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}\\
s=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[x_{0}^{2}-2x_{0}y_{0}+y_{0}^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}\\
s=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\left(x_{0}-y_{0}\right)^{2}\right]^{\;\frac{1}{2}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{s=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x_{0}-y_{0}\right)}
\]
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