Dois móveis estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) sobre a mesma
trajetória, seus movimentos são descritos pelas equações
\[
\begin{gather}
\left.
\begin{array}{l}
x_1=2t-\dfrac{1}{2}t^2 \\[5pt]
x_2=10-3t+\dfrac{3}{2}t^2
\end{array}
\right.
\qquad\text{(unidades do }\mathit{S.I.}\text{)}
\end{gather}
\]
Determine:
a) A posição de encontro entre os dois móveis;
b) O instante em que a distância entre os dois móveis é mínima e o valor da menor distância entre eles;
c) Os instantes em que as velocidades dos móveis mudam de sentido e as posições em que isto ocorre.
Solução:
a) Quando os móveis se encontram suas posições devem ser iguais
\[
\begin{gather}
x_1=x_2 \\[5pt]
2t-\frac{1}{2}t^2=10-3t+\frac{3}{2}t^2 \\[5pt]
10-3t+\frac{3}{2}t^2-2t+\frac{1}{2}t^2=0 \\[5pt]
10-5t+2t^2=0 \\[10pt]
\Delta=(-5)^2-4\times 2\times 10 \\[5pt]
\Delta =25-80 \\[5pt]
\Delta =-55
\end{gather}
\]
como Δ < 0 isto significa que não existe um x que satisfaça as duas equações ao mesmo
tempo,
os móveis não se encontram.
b) Em qualquer ponto da trajetória a distância entre os móveis é dada pela diferença das suas posições
\[
\begin{gather}
x=x_2-x_1 \\[5pt]
x=10-3t+\frac{3}{2}t^2-\left(2t-\frac{1}{2}t^2\right) \\[5pt]
x=10-3t+\frac{3}{2}t^2-2t+\frac{1}{2}t^2 \\[5pt]
x=10-5t+2t^2 \tag{I}
\end{gather}
\]
para determinarmos a distância mínima, devemos derivar esta função em relação ao tempo, e impor a
condição de que ela seja igual a zero
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=-5+4t=0 \tag{II} \\[5pt]
4t=5
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\frac{5}{4}=1,25\;\text s}
\end{gather}
\]
Para verificarmos se este é o ponto de mínimo da função calculamos a segunda derivada, derivando a equação
(II)
\[
\begin{gather}
\frac{d^2x}{dt^2}=4 > 0
\end{gather}
\]
como a segunda derivada é maior que zero o instante encontrado representa mesmo um ponto de mínimo da
função.
Substituindo o instante calculado na equação (I) encontramos a distância mínima xmin
entre os móveis
\[
\begin{gather}
x_{min}=10-5\times\frac{5}{4}+2\times\left(\frac{5}{4}\right)^2 \\[5pt]
x_{min}=10-\frac{25}{4}+2\times\frac{25}{16} \\[5pt]
x_{min}=10-\frac{25}{4}+\frac{50}{16} \\[5pt]
x_{min}=\frac{160-100+50}{16} \\[5pt]
x_{min}=\frac{110}{16}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x_{min}=6,875\;\text m}
\end{gather}
\]
c) Para encontrar as equações das velocidades dos móveis 1 e 2 devemos derivar as suas equações da
posição em relação ao tempo, para o móvel 1
\[
\begin{gather}
\frac{dx_1}{dt}=v_1=2-t
\end{gather}
\]
quando a velocidade muda de sentido ela se iguala zero, v1 = 0
\[
\begin{gather}
0=2-t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=2\;\text s}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na equação para x1, a posição será
\[
\begin{gather}
x_1=2\times 2-\frac{1}{2}\times 2^2 \\[5pt]
x_1=4-\frac{4}{2} \\[5pt]
x_1=4-2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x_1=2\;\text m}
\end{gather}
\]
Para o móvel 2
\[
\begin{gather}
\frac{dx_2}{dt}=v_2=-3+3t
\end{gather}
\]
quando a velocidade muda de sentido temos que ela se iguala zero, v2 = 0
\[
\begin{gather}
0=-3+3t \\[5pt]
3t=3 \\[5pt]
t=\frac{3}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=1\;\text s}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na equação para x2, a posição será
\[
\begin{gather}
x_2=10-3\times 1+\frac{3}{2}\times 1^2 \\[5pt]
x_2=10-3+\frac{3}{2} \\[5pt]
x_2=\frac{20-6+3}{2} \\[5pt]
x_2=\frac{17}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x_2=8,5\;\text m}
\end{gather}
\]
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