Exercício Resolvido de Cinemática
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Dois móveis estão em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) sobre a mesma trajetória, seus movimentos são descritos pelas equações
\[ \begin{gather} \left. \begin{array}{l} x_{1}=2t-\dfrac{1}{2}t^{2}\\[5pt] x_{2}=10-3t+\dfrac{3}{2}t^{2} \end{array} \right. \qquad\text{(unidades do }\mathit{S.I.}\text{)} \end{gather} \]
Determine:
a) A posição de encontro entre os dois móveis;
b) O instante em que a distância entre os dois móveis é mínima e o valor da menor distância entre eles;
c) Os instantes em que as velocidades dos móveis mudam de sentido e as posições em que isto ocorre.


Solução

a) Quando os móveis se encontram suas posições devem ser iguais
\[ \begin{gather} x_{1}=x_{2}\\ 2t-\frac{1}{2}t^{2}=10-3t+\frac{3}{2}t^{2}\\ 10-3t+\frac{3}{2}t^{2}-2t+\frac{1}{2}t^{2}=0\\ 10-5t+2t^{2}=0\\[10pt] \Delta=(-5)^{2}-4.2.10\\ \Delta =25-80\\ \Delta =-55 \end{gather} \]
como Δ < 0 isto significa que não existe um x que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo, os móveis não se encontram.

b) Em qualquer ponto da trajetória a distância entre os móveis é dada pela diferença das suas posições
\[ \begin{gather} x=x_{2}-x_{1}\\ x=10-3t+\frac{3}{2}t^{2}-\left(2t-\frac{1}{2}t^{2}\right)\\ x=10-3t+\frac{3}{2}t^{2}-2t+\frac{1}{2}t^{2}\\ x=10-5t+2t^{2} \tag{I} \end{gather} \]
para determinarmos a distância mínima, devemos derivar esta função em relação ao tempo, e impor a condição de que ela seja igual a zero
\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=-5+4t=0 \tag{II}\\ 4t=5 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t=\frac{5}{4}=1,25\;\text{s}} \]
Para verificarmos se este é o ponto de mínimo da função calculamos a segunda derivada, derivando a expressão (II)
\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=4 > 0 \]
como a segunda derivada é maior que zero o instante encontrado representa mesmo um ponto de mínimo da função.
Substituindo o instante calculado na expressão (I) encontramos a distância mínima xmin entre os móveis
\[ \begin{gather} x_{min}=10-5.\frac{5}{4}+2.\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\\ x_{min}=10-\frac{25}{4}+2.\frac{25}{16}\\ x_{min}=10-\frac{25}{4}+\frac{50}{16}\\ x_{min}=\frac{160-100+50}{16}\\ x_{min}=\frac{110}{16} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x_{min}=6,875\;\text{m}} \]

c) Para encontrar as expressões das velocidades dos móveis 1 e 2 devemos derivar as suas expressões da posição em relação ao tempo, para o móvel 1
\[ \frac{dx_{1}}{dt}=v_{1}=2-t \]
quando a velocidade muda de sentido ela se iguala zero, v1 = 0
\[ 0=2-t \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t=2\;\text{s}} \]
substituindo este valor na expressão para x1, a posição será
\[ \begin{gather} x_{1}=2.2-\frac{1}{2}.2^{2}\\ x_{1}=4-\frac{4}{2}\\ x_{1}=4-2 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x_{1}=2\;\text{m}} \]
Para o móvel 2
\[ \frac{dx_{2}}{dt}=v_{2}=-3+3t \]
quando a velocidade muda de sentido temos que ela se iguala zero, v2 = 0
\[ \begin{gather} 0=-3+3t\\ 3t=3\\ t=\frac{3}{3} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t=1\;\text{s}} \]
substituindo este valor na expressão para x2, a posição será
\[ \begin{gather} x_{2}=10-3.1+\frac{3}{2}.1^{2}\\ x_{2}=10-3+\frac{3}{2}\\ x_{2}=\frac{20-6+3}{2}\\ x_{2}=\frac{17}{2} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x_{2}=8,5\;\text{m}} \]
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