Um corpo se move com aceleração dada por
\[
\begin{gather}
a=\alpha-\beta v
\end{gather}
\]
onde α e β são constantes reais positivas que tornam a equação dimensionalmente
consistente. Determinar as equações para a velocidade e espaço percorrido em função do tempo.
Solução:
A aceleração instantânea é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na equação dada
\[
\begin{gather}
\frac{dv}{dt}=\alpha-\beta v
\end{gather}
\]
separando as variáveis e integrando de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int \frac{dv}{\alpha-\beta v}=\int dt
\end{gather}
\]
os limites de integração vão de v0, velocidade inicial, até v(t), a
velocidade num instante t qualquer para dv, e de 0, o instante inicial, até t, um
instante qualquer em dt
\[
\begin{gather}
\int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{\alpha-\beta v}=\int_0^{t}dt
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{\alpha-\beta v} \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\alpha-\beta v \\[10pt]
\dfrac{du}{dv}=-\beta v\Rightarrow dv=-{\dfrac{1}{\beta}}du
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
v =
v0, temos
\( u=\alpha-\beta v_0 \)
para
v =
v(
t), temos
\( u=\alpha-\beta v(t) \)
substituindo na integral
\[
\begin{align}
\int_{\alpha-\beta v_0}^{\alpha-\beta v(t)}\frac{1}{u}\left(-{\frac{1}{\beta}}\;du\right) & =-{\frac{1}{\beta}}\int _{{\alpha-\beta v_0}}^{{\alpha-\beta v(t)}}\frac{du}{u}=-{\frac{1}{\beta}}\;\left.\ln u\;\right|_{\;\alpha-\beta v_0}^{\;\alpha-\beta v(t)}= \\[5pt]
& =-\frac{1}{\beta}\;\left[\ln(\alpha-\beta v(t))-\ln(\alpha-\beta v_0)\right]= \\[5pt]
& =-{\frac{1}{\beta}}\;\ln \left(\frac{\alpha-\beta v(t)}{\alpha-\beta v_0}\right)
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{t}dt \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{t}dt=\left.t\;\right|_{\;0}^{\;t}=(t-0)=t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
-{\frac{1}{\beta}}\;\ln\left(\frac{\alpha-\beta v(t)}{\alpha-\beta v_0}\right)=t \\[5pt]
\ln \left(\frac{\alpha-\beta v(t)}{\alpha-\beta v_0}\right)=-\beta t \\[5pt]
\frac{\alpha-\beta v(t)}{\alpha-\beta v_0}=\operatorname{e}^{-\beta t} \\[5pt]
\alpha-\beta v(t)=\operatorname{e}^{-\beta t}(\alpha-\beta v_0) \\[5pt]
\beta v(t)=\alpha-\operatorname{e}^{-\beta t}(\alpha-\beta v_0)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v(t)=\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\operatorname{e}^{-\beta t}}{\beta}(\alpha-\beta v_0)}
\end{gather}
\]
A velocidade instantânea é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
substituindo na equação da velocidade acima
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\operatorname{e}^{-\beta t}}{\beta}(\alpha-\beta v_0)
\end{gather}
\]
integramos esta equação em dt de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int \frac{dx}{dt}dt=\int \left[\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\operatorname{e}^{-\beta t}}{\beta}(\alpha-\beta v_0)\right] dt \\[5pt]
\int \frac{dx}{dt}dt=\int\left[\frac{\alpha}{\beta}-\frac{\alpha-\beta v_0}{\beta}\operatorname{e}^{-\beta t}\right]dt
\end{gather}
\]
na integral do lado esquerdo
\( \frac{dx}{dt}dt=dx \),
e no lado direito da igualdade a integral da diferença é a diferença das integrais
\[
\begin{gather}
\int dx=\int \frac{\alpha}{\beta}\;dt-\int\frac{\alpha-\beta v_0}{\beta}\operatorname{e}^{-\beta t}dt
\end{gather}
\]
como
\( \frac{\alpha}{\beta} \)
e
\( \frac{\alpha-\beta v_0}{\beta} \)
são constantes eles “saem” da integral.
Os limites de integração vão de x0, espaço inicial, até
x(t), o espaço num instante t qualquer para dx, e de t0,
instante inicial, até t, um instante qualquer para dt
\[
\begin{gather}
\int_{x_0}^{{x(t)}}dx=\frac{\alpha}{\beta}\int_0^{{t}}dt-\frac{\alpha-\beta v_0}{\beta}\int_0^{{t}}\operatorname{e}^{-\beta t}dt
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{x_0}^{x(t)}dx \)
\[
\begin{gather}
\int_{{x_0}}^{{x(t)}}dx=\left.x\;\right|_{\;x_0}^{\;x(t)}=x(t)-x_0
\end{gather}
\]
A integral em dt já foi calculada acima.
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{t}\operatorname{e}^{-\beta t}dt \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=-\beta t\\[10pt]
\dfrac{du}{dt}=-\beta \Rightarrow dt=-{\dfrac{1}{\beta}}du
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
t = 0, temos
\( u=0 \)
para
t =
t, temos
\( u=-\beta t \)
substituindo na integral
\[
\begin{align}
\int_0^{{-\beta t}}\operatorname{e}^{u}\left(-{\frac{1}{\beta}}\right)du&=-{\frac{1}{\beta}}\int_0^{{\beta t}}\operatorname{e}^{u}du=-{\frac{1}{\beta}}\;\left.\operatorname{e}^{u}\;\right|_{\;0}^{\;-\beta t}= \\[5pt]
&=-{\frac{1}{\beta}}\left(\operatorname{e}^{-\beta t}-\operatorname{e}^{0}\right)=-{\frac{1}{\beta}}\left(\operatorname{e}^{-\beta t}-1\right)
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
x(t)-x_0=\frac{\alpha}{\beta}t-\frac{\alpha-\beta v_0}{\beta}\left[-{\frac{1}{\beta}}\left(\operatorname{e}^{-\beta t}-1\right)\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=x_0+\frac{\alpha}{\beta}t+\frac{\alpha-\beta v_0}{\beta^2}\left(\operatorname{e}^{-\beta t}-1\right)}
\end{gather}
\]
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