Para um móvel, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, obtenha as equações para o cálculo da
velocidade e do espaço percorrido em função do tempo a partir da equação da aceleração instantânea.
Solução:
A aceleração instantânea é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
Integramos esta equação em dt de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int{{\frac{dv}{dt}\;dt}}=\int{a\;dt}
\end{gather}
\]
como a aceleração a é constante ela "sai" da integral e sendo
\( \frac{dv}{dt}\;dt=dv \),
e os limites de integração vão de v0, velocidade inicial, até v(t), a
velocidade em um instante t qualquer para dv, e de t0, instante inicial, até
t um instante qualquer para dt
\[
\begin{gather}
\int_{v_0}^{v(t)}\;dv=a\int_{t_0}^{t}\;dt \\[5pt]
\left.v\;\right|_{\;v_0}^{\;v(t)}=a\;\left.t\;\right|_{\;t_0}^{\;t} \\[5pt]
v(t)-v_0=a\left(t-t_0\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v(t)=v_0+a\left(t-t_0\right)}
\end{gather}
\]
que é a equação da velocidade para um corpo em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.
A velocidade instantânea é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=v_0+a \left(t-t_0\right)
\end{gather}
\]
integrando esta equação em dt de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int{{\frac{dx}{dt}\;dt}}=\int{{\left[v_0+a\left(t-t_0\right)\right]\;dt}}
\end{gather}
\]
na integral do lado esquerdo
\( \frac{dx}{dt}\;dt=dx \),
e no lado direito da igualdade a integral da soma é a soma das integrais, e como v0,
t0 e a são constantes elas “saem” da integral. Os limites de integração vão de
x0, espaço inicial, até x(t), o espaço num instante t qualquer para
dx, e de t0, instante inicial, até t um instante qualquer para dt
\[
\begin{gather}
\int_{x_0}^{x(t)}dx=v_0\int_{t_0}^{t}\;dt+a\int_{t_0}^{t}t\;dt-at_0\int_{t_0}^{t}dt \\[5pt]
\left.x\;\right|_{\;x_0}^{\;x(t)}=v_0\;\left.t\;\right|_{\;t_0}^{\;t}+a\;\left.\frac{t^2}{2}\;\right|_{\;t_0}^{\;t}-a t_0\;\left.t\;\right|_{\;t_0}^{\;t} \\[5pt]
x(t)-x_0=v_0\left(t-t_0\right)+a\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t_0^2}{2}\right)-at_0\left(t-t_0\right) \\[5pt]
x(t)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+a\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t_0^2}{2}-t_0t+t_0^2\right) \\[5pt]
x(t)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+a\left(\frac{t^2}{2}-t_0t+\frac{t_0^2}{2}\right) \\[5pt]
x(t)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+\frac{a}{2}\left(t^2-2t_0t+t_0^2\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+\frac{a}{2}\left(t-t_0\right)^2}
\end{gather}
\]
que é a equação do espaço para um corpo em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.
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