Exercício Resolvido de Cinemática
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Para um móvel, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, obtenha as equações para o cálculo da velocidade e do espaço percorrido em função do tempo a partir da equação da aceleração instantânea.

Solução:

A aceleração instantânea é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a=\frac{dv}{dt}} \end{gather} \]

Integramos esta equação em dt de ambos os lados

\[ \begin{gather} \int{{\frac{dv}{dt'}\;dt}}=\int{{a\;dt}} \end{gather} \]

como a aceleração a é constante ela "sai" da integral e \( \dfrac{dv}{dt}\;dt=dv \)

\[ \begin{gather} \int{{dv}}=a\int{{dt}} \\[5pt] v(t)+C_1=at+C_2 \\[5pt] v(t)=at+C_2-C_1 \end{gather} \]

C1 e C2 são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma nova constante C = C2 − C1

\[ \begin{gather} v(t)=at+C \tag{I} \end{gather} \]

adotando a condição de que no instante inicial, t0, o móvel está com velocidade inicial v0, temos a condição inicial v(t0) = v0, substituindo na equação (I)

\[ \begin{gather} v(t_0)=at_0+C \\[5pt] v_0=at_0+C \\[5pt] C=v_0-at_0 \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} v(t)=at+v_0-at_0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v(t)=v_0+a\left(t-t_0\right)} \end{gather} \]

que descreve a velocidade de um corpo em Movimento Retilíneo Uniforme Variado.
A velocidade instantânea é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\frac{dx}{dt}} \end{gather} \]

substituindo esta equação no resultado obtido acima

\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=v_0+a\left(t-t_0\right) \end{gather} \]

integrando esta equação em dt de ambos os lados

\[ \begin{gather} \int{{\frac{dx}{dt}\;dt}}=\int{{\left[v_0+a\left(t-t_0\right)\right]\;dt}} \end{gather} \]

na integral, do lado esquerdo, \( \dfrac{dx}{dt}\;dt=dx \), e no lado direito da igualdade a integral da soma é a soma das integrais, e como v0, t0 e a são constantes elas “saem” da integral

\[ \begin{gather} \int{dx}=v_0\int{{dt}}+a\int{{t\;dt}}-at_0\int{{dt}} \\[5pt] x(t)+C_1=v_0t+C_2+a\frac{t^2}{2}+C_3-at_0t+C_4 \\[5pt] x(t)=v_0t+a\frac{t^2}{2}-at_0t+C_2+C_3+C_4-C_1 \end{gather} \]

C1, C2, C3 e C4 são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma nova constante C = C2+C3+C4−C1

\[ \begin{gather} x(t)=v_0t+\frac{a}{2}\left(t^2-2t_0t\right)+C \end{gather} \]

no lado direito, no termo entre parênteses, somamos e subtraímos t02

\[ \begin{gather} x(t)=v_0t+\frac{a}{2}\left(t^2-2t_0t+t_0^2-t_0^2\right)+C \\[5pt] x(t)=v_0t+\frac{a}{2}\left(t-t_0\right)^2-\frac{a}{2}t_0^2+C \tag{III} \end{gather} \]

adotando a condição de que no instante inicial, t0, o móvel está na posição inicial x0, temos a condição inicial, x(t0) = x0, substituindo na equação (III)

\[ \begin{gather} x(t_0)=v_0t_0+\frac{a}{2}\left(t_0-t_0\right)^2-\frac{a}{2}t_0^2+C \\[5pt] C=x(t_0)-v_0t_0-\frac{a}{2}.0^2+\frac{a}{2}t_0^2 \\[5pt] C=x_0-v_0t_0+\frac{a}{2}t_0^2 \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (III)

\[ \begin{gather} x(t)=v_0t+\frac{a}{2}\left(t-t_0\right)^2-\frac{a}{2}t_0^2+x_0-v_0t_0+\frac{a}{2}t_0^2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+\frac{a}{2}\left(t-t_0\right)^2} \end{gather} \]

que é a equação do espaço percorrido para um corpo em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.

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