Exercício Resolvido de Cinemática
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Para um móvel, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, obtenha as expressões para o cálculo da velocidade e do espaço percorrido em função do tempo a partir da expressão da aceleração instantânea.


Solução

A aceleração instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {a=\frac{dv}{dt}} \]
Integramos esta expressão em dt de ambos os lados
\[ \int {{\frac{dv}{dt'}\;dt}}=\int {{a\;dt}} \]
como a aceleração a é constante ela "sai" da integral e \( \dfrac{dv}{dt}\;dt=dv \)
\[ \begin{gather} \int {{dv}}=a\int{{dt}}\\ v(t)+C_{1}=at+C_{2}\\ v(t)=at+C_{2}-C_{1} \end{gather} \]
C1 e C2 são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma nova constante C = C2 − C1
\[ \begin{gather} v(t)=at+C \tag{I} \end{gather} \]
adotando a condição de que no instante inicial, t0, o móvel está com velocidade inicial v0, temos a condição inicial v(t0) = v0, substituindo na expressão (I)
\[ \begin{gather} v(t_{0})=at_{0}+C\\ v_{0}=at_{0}+C\\ C=v_{0}-at_{0} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ v(t)=at+v_{0}-at_{0} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v(t)=v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)} \]
que descreve a velocidade de um corpo em Movimento Retilíneo Uniforme Variado.
A velocidade instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=\frac{dx}{dt}} \]
substituindo esta expressão no resultado obtido acima
\[ \frac{dx}{dt}=v_{0}+a\left(t-t_{0}\right) \]
integrando esta expressão em dt de ambos os lados
\[ \int {{\frac{dx}{dt}\;dt}}=\int{{\left[v_{0}+a\left(t-t_{0}\right)\right]\;dt}} \]
na integral, do lado esquerdo, \( \dfrac{dx}{dt}\;dt=dx \), e no lado direito da igualdade a integral da soma é a soma das integrais, e como v0, t0 e a são constantes elas “saem” da integral
\[ \begin{gather} \int {{dx}}=v_{0}\int {{dt}}+a\int {{t\;dt}}-at_{0}\int{{dt}}\\ x(t)+C_{1}=v_{0}t+C_{2}+a\frac{t^{2}}{2}+C_{3}-at_{0}t+C_{4}\\ x(t)=v_{0}t+a\frac{t^{2}}{2}-at_{0}t+C_{2}+C_{3}+C_{4}-C_{1} \end{gather} \]
C1, C2, C3 e C4 são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma nova constante C = C2+C3+C4−C1
\[ x(t)=v_{0}t+\frac{a}{2}\left(t^{2}-2t_{0}t\right)+C \]
no lado direito, no termo entre parênteses, somamos e subtraímos t02
\[ \begin{gather} x(t)=v_{0}t+\frac{a}{2}\left(t^{2}-2t_{0}t+t_{0}^{2}-t_{0}^{2}\right)+C\\ x(t)=v_{0}t+\frac{a}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}-\frac{a}{2}t_{0}^{2}+C \tag{III} \end{gather} \]
adotando a condição de que no instante inicial, t0, o móvel está na posição inicial x0, temos a condição inicial, x(t0) = x0, substituindo na expressão (III)
\[ \begin{gather} x(t_{0})=v_{0}t_{0}+\frac{a}{2}\left(t_{0}-t_{0}\right)^{2}-\frac{a}{2}t_{0}^{2}+C\\ C=x(t_{0})-v_{0}t_{0}-\frac{a}{2}.0^{2}+\frac{a}{2}t_{0}^{2}\\ C=x_{0}-v_{0}t_{0}+\frac{a}{2}t_{0}^{2} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ x(t)=v_{0}t+\frac{a}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}-\frac{a}{2}t_{0}^{2}+x_{0}-v_{0}t_{0}+\frac{a}{2}t_{0}^{2} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=x_{0}+v_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{a}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}} \]
que é a expressão do espaço percorrido para um corpo em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.
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