Exercício Resolvido de Cinemática

Obtenha a equação para o cálculo do espaço percorrido em função do tempo no Movimento Retilíneo Uniforme, a partir da equação da velocidade instantânea.

Solução:

A velocidade instantânea é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\frac{dx}{dt}} \end{gather} \]

Integramos esta equação em dt de ambos os lados

\[ \begin{gather} \int{{\frac{dx}{dt}\;dt}}=\int{{v\;dt}} \end{gather} \]

como a velocidade v é constante ela "sai" da integral e \( \dfrac{dx}{dt}\;dt=dx \)

\[ \begin{gather} \int{dx}=v\int{dt} \\[5pt] x(t)+C_1=vt+C_2 \\[5pt] x(t)=vt+C_2-C_1 \end{gather} \]

C₁ e C₂ são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma nova constante C = C₂ − C₁.

\[ \begin{gather} x(t)=vt+C \tag{I} \end{gather} \]

adotando a condição de que no instante inicial, t₀, o móvel está na posição inicial x₀, temos a condição inicial x(t₀) = x₀, substituindo na equação (I)

\[ \begin{gather} x(t_0)=vt_0+C_1 \\[5pt] x_0=vt_0+C_1 \\[5pt] C_1=x_0-vt_0 \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} x(t)=vt+x_0-vt_0 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=x_0+v\left(t-t_0\right)} \end{gather} \]

que descreve um corpo em Movimento Retilíneo Uniforme.