Um corpo se move com aceleração dada por
\[
\begin{gather}
a=\alpha x
\end{gather}
\]
onde α é uma constante real positiva que torna a equação dimensionalmente consistente. A
velocidade inicial do corpo é igual à v0 para uma posição x0.
Determinar a equação para a velocidade em função da posição.
Solução:
A aceleração é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta equação por dx
\[
\begin{gather}
a=\frac{dv}{dt}\frac{dx}{dx}
\end{gather}
\]
trocando a ordem dos termos
\[
\begin{gather}
a=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}
\end{gather}
\]
temos que
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
é a definição de velocidade, substituindo na equação acima
\[
\begin{gather}
a=v\frac{dv}{dx}
\end{gather}
\]
substituindo a aceleração dada no problema
\[
\begin{gather}
\alpha x=v\frac{dv}{dx}
\end{gather}
\]
separando as variáveis e integrando de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int_{v_0}^vv\;dv=\int_{x_0}^x\alpha x\;dx
\end{gather}
\]
os limites de integração para v são v0, velocidade inicial, até v, a
velocidade num instante t qualquer, para x são x0, a posição inicial, até
x, uma posição qualquer.
Integral de
\( \displaystyle \int_{v_0}^v{}v\;dv \)
\[
\begin{gather}
\int_{v_0}^vv\;dv=\left.\frac{v^2}{2}\;\right|_{\;v_0}^{\;v}=\frac{v^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{x_0}^x{}\alpha x\;dx \)
\[
\begin{gather}
\alpha \;\int_{x_0}^xx\;dx=\left.\frac{x^2}{2}\;\right|_{\;x_0}^{\;x}=\alpha\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{v^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}=\alpha\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}\right)\\[5pt]
\frac{v^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}=\frac{\alpha}{2}\left(x^2-x_0^2\right)\\[5pt]
v^2-v_0^2=\alpha\left(x^2-x_0^2\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v^2=v_0^2+\alpha \left(x^2-x_0^2\right)}
\end{gather}
\]
EN