Exercício Resolvido de Cinemática
Português
English
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Um corpo se move com aceleração dada por
\[
\begin{gather}
a=\alpha x
\end{gather}
\]
onde α é uma constante real positiva que torna a expressão dimensionalmente consistente. A
velocidade inicial do corpo é igual à v0 para uma posição x0. Determinar
a expressão para a velocidade em função da posição.
Solução
A aceleração é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por dx
\[
\begin{gather}
a=\frac{dv}{dt}\frac{dx}{dx}
\end{gather}
\]
trocando a ordem dos termos
\[
\begin{gather}
a=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}
\end{gather}
\]
temos que
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
é a definição de velocidade, substituindo na expressão acima
\[
\begin{gather}
a=v\frac{dv}{dx}
\end{gather}
\]
substituindo a aceleração dada no problema
\[
\begin{gather}
\alpha x=v\frac{dv}{dx}
\end{gather}
\]
separando as variáveis e integrando de ambos os lados
\[
\begin{gather}
\int_{v_{0}}^{v}{}v\;dv=\int_{x_{0}}^{x}\alpha x\;dx
\end{gather}
\]
os limites de integração para v são v0, velocidade inicial, até v, a
velocidade num instante t qualquer, para x são x0, a posição inicial, até
x, uma posição qualquer.
Integração de
\( \displaystyle \int_{v_{0}}^{v}{}v\;dv \)
\[
\begin{gather}
\int_{v_{0}}^{v}v\;dv=\left.\frac{v^{2}}{2}\;\right|_{\;v_{0}}^{\;v}=\frac{v^{2}}{2}-\frac{v_{0}^{2}}{2}
\end{gather}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_{x_{0}}^{x}{}\alpha x\;dx \)
\[
\begin{gather}
\alpha \;\int_{x_{0}}^{x}x\;dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\;\right|_{\;x_{0}}^{\;x}=\alpha\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x_{0}^{2}}{2}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{v^{2}}{2}-\frac{v_{0}^{2}}{2}=\alpha\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x_{0}^{2}}{2}\right)\\[5pt]
\frac{v^{2}}{2}-\frac{v_{0}^{2}}{2}=\frac{\alpha}{2}\left(x^{2}-x_{0}^{2}\right)\\[5pt]
v^{2}-v_{0}^{2}=\alpha\left(x^{2}-x_{0}^{2}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v^{2}=v_{0}^{2}+\alpha \left(x^{2}-x_{0}^{2}\right)}
\end{gather}
\]
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