Exercício Resolvido de
Português
English
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Obtenha a expressão para o cálculo da velocidade e da aceleração de um corpo, que se move em um plano, em coordenadas polares.
Solução
O vetor posição em coordenadas polares é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{r}=r\;\mathbf{e}_{r}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos o vetor velocidade (v) devemos derivar o vetor posição em relação ao tempo. Em
coordenadas polares os vetores unitários, er e eθ, mudam
de posição com o tempo, eles são funções do tempo.
Lembrando do Cálculo Integral e Diferencial, a regra da derivada do produto é dada por
\[
\frac{d(fg)}{dt}=\frac{df}{dt}g+f\frac{dg}{dt}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\;\mathbf{e}_{r}+r\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt} \tag{II}
\end{gather}
\]
O vetor unitário er é função do ângulo θ, para encontrarmos
\( \frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt} \)
devemos aplicar a regra da cadeia.
Lembrando do Cálculo Integral e Diferencial, a regra da cadeia é dada por
\[
\frac{df[g(t)]}{dt}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dt}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}=\frac{d\mathbf{e}_{r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} \tag{III}
\end{gather}
\]
Quando a posição (r) se desloca para a posição r+dr, temos uma variação infinitesimal do
ângulo (dθ), Figura 1.
Desenhando os vetores unitários, er e eθ das coordenadas
polares, em um sistema de eixos-xy, podemos encontrar suas componentes em termos dos vetores unitário
i e j de coordenadas cartesianas (Figura 2).
\[
\begin{gather}
{\mathbf{e}}_{r}=\cos \theta\;\mathbf{i}+\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j} \tag{IV-a}\\
{\mathbf{e}}_{\theta}=-\operatorname{sen}\theta \;\mathbf{i}+\cos \theta\;\mathbf{j} \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
Derivando a expressão (IV-a) em função de θ
\[
\frac{d{\mathbf{e}}_{r}}{d\theta}=\underbrace{-\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{i}+\cos \theta\;\mathbf{j}}_{{\mathbf{e}}_{\theta}}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d\mathbf{e}_{r}}{d\theta}=\mathbf{e}_{\theta} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\;{\mathbf{e}}_{\theta} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (II), temos a velocidade
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\;{\mathbf{e}}_{r}+r\frac{d\theta}{dt}\;{\mathbf{e}}_{\theta}} \tag{VII-a}
\end{gather}
\]
ou usando a seguinte notação
\( \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\dot{\mathbf{r}} \),
\( \frac{dr}{dt}=\dot{r} \)
e
\( \frac{d\theta}{dt}=\dot{\theta} \)
também podemos escrever
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}\;{\mathbf{e}}_{r}+r\dot{\theta}\;{\mathbf{e}}_{\theta}} \tag{VII-b}
\end{gather}
\]
ou usando a seguinte notação
\( \dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v} \),
\( \dot{r}=v_{r} \)
e
\( \dot{\theta}=\omega \)
também podemos escrever
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{v}=v_{r}\;{\mathbf{e}}_{r}+r\omega\;{\mathbf{e}}_{\theta}} \tag{VII-c}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos o vetor aceleração devemos derivar o vetor velocidade em relação ao tempo, vamos usar a
expressão da velocidade na forma da expressão (VII-a).
Lembrando do Cálculo Integral e Diferencial, a derivada da soma é soma das derivadas
\[
\frac{d(f+g)}{dt}=\frac{df}{dt}+\frac{dg}{dt}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d}{dt}\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dr}{dt}\;{\mathbf{e}}_{r}\right)+\frac{d}{dt}\left(r\frac{d\theta}{dt}\;{\mathbf{e}}_{\theta}\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
O primeiro termo do lado direito da igualdade é o produto de duas funções e o segundo termo é o produto de três
funções, usando a regra da derivada do produto
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\left(\frac{d^{2}r}{dt^{2}}\;{\mathbf{e}}_{r}+\frac{dr}{dt}\frac{d{\mathbf{e}}_{r}}{dt}\right)+\left(\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\;{\mathbf{e}}_{\theta}+r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\;{\mathbf{e}}_{\theta}+r\frac{d\theta}{dt}\frac{d{\mathbf{e}}_{\theta}}{dt}\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
O termo
\( \frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt} \)
já foi encontrado na expressão (VI).O vetor unitário eθ é função do ângulo θ, para encontrarmos \( \frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{dt} \) devemos aplicar a regra da cadeia.
\[
\begin{gather}
\frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{dt}=\frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} \tag{X}
\end{gather}
\]
Derivando a expressão (IV-b) em função de θ
\[
\begin{gather}
\frac{d{\mathbf{e}}_{\theta }}{d\theta}=-\cos \theta \;\mathbf{i}-\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}\\
\frac{d{\mathbf{e}}_{\theta}}{d\theta }=-(\underbrace{\cos \theta\;\mathbf{i}+\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}}_{{\mathbf{e}}_{r}})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{d\theta}=-\mathbf{e}_{r} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XI) na expressão (X)
\[
\begin{gather}
\frac{d\mathbf{e}_{\theta}}{dt}=-{\frac{d\theta}{dt}}\mathbf{e}_{r} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VI) e (XII) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\left[\frac{d^{2}r}{dt^{2}}\;{\mathbf{e}}_{r}+\frac{dr}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\;{\mathbf{e}}_{\theta}\right)\right]+\left[\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\;{\mathbf{e}}_{\theta}+r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\;{\mathbf{e}}_{\theta}-r\frac{d\theta}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\mathbf{e}_{r}\right)\right]\\
\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}\;{\mathbf{e}}_{r}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\;{\mathbf{e}}_{\theta}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\;{\mathbf{e}}_{\theta}+r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\;{\mathbf{e}}_{\theta}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2}\mathbf{e}_{r}
\end{gather}
\]
Observação: Não confundir
\( \frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} \)
que representa a derivada de segunda ordem de theta em relação ao tempo, com
\( \frac{d\theta}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)=\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2} \)
que representa a derivada de primeira ordem de theta em relação ao tempo ao quadrado.
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\left(\frac{d^{2}r}{dt^{2}}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2}\right)\mathbf{e}_{r}+\left(2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\right)\;{\mathbf{e}}_{\theta}}
\]
ou usando a seguinte notação
\( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=\ddot{\mathbf{r}} \),
\( \frac{dr}{dt}=\dot{r} \),
\( \frac{d^{2}r}{dt^{2}}=\ddot{r} \),
\( \frac{d\theta}{dt}=\dot{\theta} \)
e
\( \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=\ddot{\theta} \)
também podemos escrever
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\ddot{\mathbf{r}}=\left(\ddot{r}-r{\dot{\theta}}^{2}\right)\mathbf{e}_{r}+\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\;{\mathbf{e}}_{\theta}}
\]
ou usando a seguinte notação
\( \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{a} \)
também podemos escrever
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{a}=\left(\ddot{r}-r{\dot{\theta}}^{2}\right)\mathbf{e}_{r}+\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\;{\mathbf{e}}_{\theta}}
\]
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