Exercício Resolvido de Cinemática
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O móvel B parte do ponto O no mesmo instante em que por esse ponto passa o móvel A.
Ambos os móveis percorrem a mesma trajetória retilínea e as curvas velocidade×tempo são quartos de
circunferência com raios iguais, como mostra a figura. Determinar:
a) O instante em os móveis possuem velocidades iguais em módulo;
b) O valor desta velocidade;
c) O instante em os móveis possuem acelerações iguais em módulo;
d) O valor desta aceleração.
a) O instante em os móveis possuem velocidades iguais em módulo;
b) O valor desta velocidade;
c) O instante em os móveis possuem acelerações iguais em módulo;
d) O valor desta aceleração.
Solução:
A equação de uma circunferência é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2}
\end{gather}
\]
onde x0 e y0 são as coordenadas do centro da circunferência e
r o seu raio.
Como o gráfico das velocidades em função do tempo são arcos de circunferência, podemos fazer as seguintes
associações x = t, y = v e r = 10.
Para o móvel B temos uma circunferência centrada na origem
(x0, y0) = (0, 0) (Figura 1), assim a equação da velocidade será
\[
\begin{gather}
t^2+v_{\small B}^2=10^2 \\[5pt]
v_{\small B}^2=100-t^2 \tag{I} \\[5pt]
v_{\small B}=\sqrt{100-t^2\;} \tag{II}
\end{gather}
\]
Para o móvel A temos uma circunferência centrada em
(x0, y0) = (10, 0) (Figura 2), assim a equação da velocidade será
\[
\begin{gather}
(t-10)^2+v_{\small A}^2=10^2 \\[5pt]
v_{\small A}^2=100-(t-10)^2 \tag{III} \\[5pt]
v_{\small A}=\sqrt{100-(t-10)^2\;} \tag{IV}
\end{gather}
\]
a) Impondo a condição de que as velocidades são iguais e usando as equações (I) e (III)
\[
\begin{gather}
v_{\small B}^2=v_{\small A}^2 \\[5pt]
100-t^2=100-(t-10)^2 \\[5pt]
t^2=(t-10)^2 \\[5pt]
t^2=t^2-20t+100 \\[5pt]
-20t-100=0 \\[5pt]
t=\frac{100}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=5\;\text{s}}
\end{gather}
\]
b) Substituindo o resultado do item anterior na equação (II)
\[
\begin{gather}
v_{\small B}=\sqrt{100-5^2\;} \\[5pt]
v_{\small B}=\sqrt{75\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{\small A}=v_{\small B}=8,7\;\text{m/s}}
\end{gather}
\]
c) A aceleração é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
derivando as equações (II) e (IV) em relação ao tempo temos as acelerações aA e aB dos móveis.
Derivada de \( v_{\small B}=\sqrt{100-t^2\;} \)
a função vB(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
a função vB(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dv[u(t)]}{dt}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dt} \tag{V}
\end{gather}
\]
com
\( v(u)=\sqrt{u\;} \)
e
\( u(t)=100-t^2 \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{gather}
\frac{dv}{du}=u^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{u\;}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{du}{dt}=-2t \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VI) e (VII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_{\small B}}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{u\;}}(-2t)=\frac{-{t}}{\sqrt{100-t^2\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=-{\frac{t}{\sqrt{100-t^2\;}}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Derivada de \( v_{\small A}=\sqrt{100-(t-10)^2\;} \)
a função vA(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
a função vA(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dv[u(t)]}{dt}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dt} \tag{IX}
\end{gather}
\]
com
\( v(u)=\sqrt{u\;} \)
e
\( u(t)=100-(t-10)^2 \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{gather}
\frac{dv}{du}=u^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{u\;}} \tag{X}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{du}{dt}=-2(t-10) \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (X) e (XI) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
\frac{dv_{\small A}}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{u\;}}[-2(t-10)]=\frac{-(t-10)}{\sqrt{100-(t-10)^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{\small A}=-{\frac{t-10}{\sqrt{100-(t-10)^2}}} \tag{XII}
\end{gather}
\]
Impondo a condição de que as acelerações são iguais e usando as equações (VIII) e (XII)
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=a_{\small A} \\[5pt]
-{\frac{t}{\sqrt{100-t^2}}}=-{\frac{t-10}{\sqrt{100-(t-10)^2}}} \\[5pt]
\left[-{\frac{t}{\sqrt{100-t^2}}}\right]^2=\left[-{\frac{t-10}{\sqrt{100-(t-10)^2}}}\right]^2 \\[5pt]
\frac{t^2}{100-t^2}=\frac{(t-10)^2}{100-(t-10\;)^2\;} \\[5pt]
t^2\left[100-(t-10\;)^2\right]=(t-10)^2(100-t^2) \\[5pt]
100t^2-\cancel{[t^2(t-10)^2]}=100(t-10)^2-\cancel{[t^2(t-10)^2]} \\[5pt]
100t^2=100(t-10)^2 \\[5pt]
t^2=t^2-20t+100 \\[5pt]
-20t+100=0 \\[5pt]
t=\frac{100}{20}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=5\;\text{s}}
\end{gather}
\]
d) Substituindo o resultado do item anterior na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=-\frac{5}{\sqrt{100-5^2\;}} \\[5pt]
a_{\small B}=-\frac{5}{\sqrt{100-25\;}} \\[5pt]
a_{B}=-\frac{5}{\sqrt{75\;}} \\[5pt]
a_{\small B}=-\frac{5}{8,7}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small B}\approx -0,6\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Substituindo o resultado do item anterior na equação (XIII)
\[
\begin{gather}
a_{\small A}=-\frac{{5-10}}{\sqrt{100-(5-10)^2\;}} \\[5pt]
a_{\small A}=-\frac{{-5}}{\sqrt{100-(-5)^2\;}} \\[5pt]
a_{\small A}=\frac{5}{\sqrt{100-25\;}} \\[5pt]
a_{\small A}=\frac{5}{\sqrt{75\;}} \\[5pt]
a_{\small B}=\frac{-{5}}{8,7}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small A}\approx 0,6\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Observação: Vemos que em módulo as acelerações dos móveis são iguais (0,6 m/s2),
mas elas possuem sinais contrários, enquanto o móvel B está diminuindo sua velocidade (freando),
o móvel A está aumentando a velocidade (acelerando), o que concorda com as curvas mostradas no
gráfico do problema.
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