No sistema biela-manivela mostrado na figura, a manivela OA possui velocidade angular constante
ω e comprimento R, a biela tem um comprimento L.
a) Determine as equações paramétricas da trajetória de um ponto qualquer da biela;
b) Em que condições a trajetória descrita por este ponto é elíptica?
c) Determine as equações do ponto A da extremidade da manivela;
d) Determine as equações do ponto B da extremidade biela.
Dados do problema:
- Velocidade angular da manivela: ω;
- Comprimento da manivela: R;
- Comprimento da biela: L.
Esquema do problema:
Vamos adotar um sistema de referência fixo no ponto O e um ponto P qualquer sobre a biela
AB. O vetor posição rA descreve o movimento do ponto A da manivela
OA, o vetor rOP descreve o movimento do ponto P em relação ao ponto
A (movimento relativo) e o vetor r descreve o movimento do ponto P em relação ao
sistema de referência adotado em O. O ponto A gira em torno de O descrevendo uma
circunferência de raio R (comprimento da manivela) enquanto na biela o ponto B descreve
um movimento ao longo do eixo-x (Figura 1).
Solução:
a) O vetor posição do ponto P é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf r=\mathbf r_{\small A}+\mathbf r_{\small{OP}}}
\end{gather}
\]
Pela Figura 2 podemos escrever
\[
\begin{gather}
\mathbf r_{\small A}=R\cos\theta\;\mathbf i+R\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j \\[5pt]
{{\mathbf r}}_{\small{OP}}=d\cos\phi\;\mathbf i-d\operatorname{sen}\phi\;\mathbf j
\end{gather}
\]
onde
d é a distância do ponto
A ao ponto
P, e
i e
j são os vetores
unitários nas direções
x e
y. O vetor posição pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf r=R\cos\theta\;\mathbf i+R\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+d\cos\phi\;\mathbf i-d\operatorname{sen}\phi\;\mathbf j \tag{I}
\end{gather}
\]
Figura 2
O segmento
\( \overline{{AB}} \)
(biela) forma um ângulo ϕ com o eixo-x, mesmo ângulo formado pelo vetor
rOP e a horizontal (Figura 3-A). Traçando uma reta auxiliar vertical pelo ponto
A até o eixo-x, no ponto M temos a altura h, o que determina os triângulos
ΔMOA e ΔMBA (Figura 3-B). Do triângulo ΔMOA determinamos a altura
h
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\theta=\frac{h}{R} \\[5pt]
h=R\operatorname{sen}\theta \tag{II}
\end{gather}
\]
Pelo Teorema de Pitágoras determinamos o cateto x do triângulo ΔMBA
\[
\begin{gather}
L^2=h^2+x^2 \\[5pt]
x^2=L^2-h^2 \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (III)
\[
\begin{gather}
x^2=L^2-R^2\operatorname{sen}^2\theta \\[5pt]
x=\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\theta\right)^{1/2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Escrevendo o cos ϕ em função da variável θ
\[
\begin{gather}
\cos \phi=\frac{x}{L} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\cos \phi=\frac{\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\theta\right)^{\frac{1}{2}}}{L} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Escrevendo o sen ϕ em função da variável θ
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\phi=\frac{h}{L} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\phi=\frac{R\operatorname{sen}\theta}{L} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VI) e (VIII) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\mathbf r=R\cos\theta\;\mathbf i+R\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+d\frac{\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\theta\right)^{1/2}}{L}\;\mathbf i-d\frac{R\operatorname{sen}\theta}{L}\;\mathbf j
\end{gather}
\]
sendo
\( \theta=\omega t \)
e
\( \mathbf r=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \),
as equações na forma paramétrica ficam
\[
\begin{gather}
x\;\mathbf i+y\;\mathbf j=R\cos\omega t\;\mathbf i+R\operatorname{sen}\omega t\;\mathbf j+d\frac{\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2}}{L}\;\mathbf i-d\frac{R\operatorname{sen}\omega t}{L}\;\mathbf j \\[5pt]
x\;\mathbf i+y\;\mathbf j=\left[R\cos\omega t+d\frac{\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2}}{L}\right]\;\mathbf i+R\operatorname{sen}\omega t\left[1-d\frac{1}{L}\right]\;\mathbf j \\[5pt]
x\;\mathbf i+y\;\mathbf j=\left[R\cos\omega t+d\frac{\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{L}\right]\;\mathbf i+\frac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\left[L-d\right]\;\mathbf j
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\begin{array}{l}
x=R\cos\omega t+d\dfrac{\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2}}{L} \\[5pt]
y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\left(L-d\right)
\end{array}}
\end{gather}
\]
b) Se o comprimento da manivela for igual ao comprimento da biela, R = L, substituindo
esta condição no resultado do item anterior
\[
\begin{gather}
\begin{array}{l}
x=R\cos \omega t+d\dfrac{\left(R^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2}}{R} \\[5pt]
y=\dfrac{R}{R}\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\\[10pt]
x=R\cos\omega t+d\dfrac{\left[R^2\left(1-\operatorname{sen}^{\;2}\omega t\right)\right]^{1/2}}{R} \\[5pt]
y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\\[10pt]
x=R\cos\omega t+dR\dfrac{\left(1-\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2}}{R} \\[5pt]
y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\\[10pt]
x=R\cos\omega t+d\left(1-\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2} \\[5pt]
y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)
\end{array}
\end{gather}
\]
sendo
\( \left(1-\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2}=\cos\omega t \)
\[
\begin{gather}
\begin{array}{l}
x=R\cos\omega t+d\cos\omega t \\[5pt]
y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\\[10pt]
x=\cos\omega t\left(R+d\right) \\[5pt]
y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)
\end{array}
\end{gather}
\]
elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade das duas equações e somando as duas
\[
\begin{gather}
x^2=\left[\cos\omega t\left(R+d\right)\right]^2 \\[5pt]
y^2=\left[\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\right]^2\\[10pt]
x^2=\cos ^2\omega t\left(R+d\right)^2 \\[5pt]
y^2=\operatorname{sen}^2\omega t\left(R-d\right)^2\\[10pt]
\frac{x^2}{\left(R+d\right)^2}=\cos ^2\omega t \\[5pt]
\frac{(\text{+})\qquad \dfrac{y^2}{\left(R-d\right)^2}=\operatorname{sen}^2\omega t \qquad\qquad }{\dfrac{x^2}{\left(R+d\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(R-d\right)^2}=\cos^2\omega t+\operatorname{sen}^2\omega t}
\end{gather}
\]
sendo
\( \cos\omega t+\operatorname{sen}^2\omega t=1 \)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{x^2}{\left(R+d\right)^2}+\frac{y^2}{\left(R-d\right)^2}=1}
\end{gather}
\]
que representa uma elipse de eixo maior (R+d) e eixo menor (R−d).
c) Para o ponto A a distância d é nula (d = 0, o ponto P coincide com o ponto
A), substituindo esta condição no resultado do item (a)
\[
\begin{gather}
\begin{array}{l}
x=R\cos\omega t+0\times\dfrac{\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2}}{L} \\[5pt]
y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\left(L-0\right)\\[10pt]
x=R\cos\omega t+0 \\[5pt]
y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega tL
\end{array}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\begin{array}{l}
x=R\cos\omega t \\[5pt]
y=R\operatorname{sen}\omega t
\end{array}}
\end{gather}
\]
estas equações representam um ponto descrevendo uma circunferência de raio R (como esperado).
d) Para o ponto B a distância d é igual a L (d = L, o ponto P
coincide com o ponto B), substituindo esta condição no resultado do item (a)
\[
\begin{gather}
\begin{array}{l}
x=R\cos\omega t+L\times\dfrac{\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{L} \\[5pt]
y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\left(L-L\right)\\[10pt]
x=R\cos\omega t+\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2} \\[5pt]
y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\times 0
\end{array}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\begin{array}{l}
x=R\cos\omega t+\left(L^2-R^2\operatorname{sen}^2\omega t\right)^{1/2} \\[5pt]
y=0
\end{array}}
\end{gather}
\]
estas equações representam um ponto se deslocando apenas sobre o eixo-x.
EN
