Exercício Resolvido de Cinemática

No sistema biela-manivela mostrado na figura, a manivela OA possui velocidade angular constante ω e comprimento R, a biela tem um comprimento L.
a) Determine as equações paramétricas da trajetória de um ponto qualquer da biela;
b) Em que condições a trajetória descrita por este ponto é elíptica?
c) Determine as equações do ponto A da extremidade da manivela;
d) Determine as equações do ponto B da extremidade biela.

Dados do problema:

Velocidade angular da manivela: ω;
Comprimento da manivela: R;
Comprimento da biela: L.

Esquema do problema:

Vamos adotar um sistema de referência fixo no ponto O e um ponto P qualquer sobre a biela AB. O vetor posição r_A descreve o movimento do ponto A da manivela OA, o vetor r_OP descreve o movimento do ponto P em relação ao ponto A (movimento relativo) e o vetor r descreve o movimento do ponto P em relação ao sistema de referência adotado em O. O ponto A gira em torno de O descrevendo uma circunferência de raio R (comprimento da manivela) enquanto na biela o ponto B descreve um movimento ao longo do eixo-x (Figura 1).

Figura 1

Solução

a) O vetor posição do ponto P é dado por

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{r}=\mathbf{r}_{A}+\mathbf{r}_{OP}} \]

Pela Figura 2 podemos escrever

\[ \begin{gather} \mathbf{r}_{A}=R\cos \theta\;\mathbf{i}+R\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}\\ {{\mathbf{r}}}_{OP}=d\cos\phi \;\mathbf{i}-d\operatorname{sen}\phi\;\mathbf{j} \end{gather} \]

onde d é a distância do ponto A ao ponto P, e i e j são os vetores unitários nas direções x e y. O vetor posição pode ser escrito como

\[ \mathbf{r}=R\cos \theta\;\mathbf{i}+R\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+d\cos \phi\;\mathbf{i}-d\operatorname{sen}\phi \;\mathbf{j} \tag{I} \]

Figura 2

O segmento \( \overline{{AB}} \) (biela) forma um ângulo ϕ com o eixo-x, mesmo ângulo formado pelo vetor r_OP e a horizontal (Figura 3-A). Traçando uma reta auxiliar vertical pelo ponto A até o eixo-x, no ponto M temos a altura h, o que determina os triângulos ΔMOA e ΔMBA (Figura 3-B). Do triângulo ΔMOA determinamos a altura h

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta =\frac{h}{R}\\ h=R\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]

Figura 3

Pelo Teorema de Pitágoras determinamos o cateto x do triângulo ΔMBA

\[ \begin{gather} L^{2}=h^{2}+x^{2}\\ x^{2}=L^{2}-h^{2} \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a expressão (II) na expressão (III)

\[ \begin{gather} x^{2}=L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\\ x=\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\right)^{\frac{1}{2}} \tag{IV} \end{gather} \]

Escrevendo o cos ϕ em função da variável θ

\[ \begin{gather} \cos \phi =\frac{x}{L} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a expressão (IV) na expressão (V)

\[ \begin{gather} \cos \phi =\frac{\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\right)^{\frac{1}{2}}}{L} \tag{VI} \end{gather} \]

Escrevendo o sen ϕ em função da variável θ

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\phi =\frac{h}{L} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a expressão (II) na expressão (VII)

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\phi =\frac{R\operatorname{sen}\theta }{L} \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo as expressões (VI) e (VIII) na expressão (I)

\[ \mathbf{r}=R\cos \theta\;\mathbf{i}+R\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+d\frac{\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\right)^{\frac{1}{2}}}{L}\;\mathbf{i}-d\frac{R\operatorname{sen}\theta}{L}\;\mathbf{j} \]

sendo \( \theta =\omega t \) e \( \mathbf{r}=x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \), as equações na forma paramétrica ficam

\[ \begin{gather} x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}=R\cos \omega t\;\mathbf{i}+R\operatorname{sen}\omega t\;\mathbf{j}+d\frac{\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{L}\;\mathbf{i}-d\frac{R\operatorname{sen}\omega t}{L}\;\mathbf{j}\\ x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}=\left[R\cos\omega t+d\frac{\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{L}\right]\;\mathbf{i}+R\operatorname{sen}\omega t\left[1-d\frac{1}{L}\right]\;\mathbf{j}\\ x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}=\left[R\cos\omega t+d\frac{\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{L}\right]\;\mathbf{i}+\frac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\left[L-d\right]\;\mathbf{j} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\begin{array}{l} x=R\cos \omega t+d\dfrac{\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{L}\\[5pt] y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\left(L-d\right) \end{array}} \]

b) Se o comprimento da manivela for igual ao comprimento da biela, R = L, substituindo esta condição no resultado do item anterior

\[ \begin{array}{l} x=R\cos \omega t+d\dfrac{\left(R^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{R}\\ y=\dfrac{R}{R}\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\\[10pt] x=R\cos \omega t+d\dfrac{\left[R^{2}\left(1-\operatorname{sen}^{\;2}\omega t\right)\right]^{\frac{1}{2}}}{R}\\ y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\\[10pt] x=R\cos \omega t+dR\dfrac{\left(1-\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{R}\\ y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\\[10pt] x=R\cos \omega t+d\left(1-\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}\\ y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right) \end{array} \]

sendo \( \left(1-\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}=\cos \omega t \)

\[ \begin{array}{l} x=R\cos \omega t+d\cos \omega t\\ y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\\[10pt] x=\cos \omega t\left(R+d\right)\\ y=\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right) \end{array} \]

elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade das duas equações e somando as duas

\[ \begin{gather} x^{2}=\left[\cos \omega t\left(R+d\right)\right]^{2}\\ y^{2}=\left[\operatorname{sen}\omega t\left(R-d\right)\right]^{2}\\[10pt] x^{2}=\cos ^{2}\omega t\left(R+d\right)^{2}\\ y^{2}=\operatorname{sen}^{2}\omega t\left(R-d\right)^{2}\\[10pt] \frac{x^{2}}{\left(R+d\right)^{2}}=\cos ^{2}\omega t\\ \frac{(\text{+})\qquad \dfrac{y^{2}}{\left(R-d\right)^{2}}=\operatorname{sen}^{2}\omega t \qquad\qquad }{\dfrac{x^{2}}{\left(R+d\right)^{2}}+\dfrac{y^{2}}{\left(R-d\right)^{2}}=\cos^{2}\omega t+\operatorname{sen}^{2}\omega t} \end{gather} \]

sendo \( \cos \omega t+\operatorname{sen}^{2}\omega t=1 \)

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{x^{2}}{\left(R+d\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(R-d\right)^{2}}=1} \]

que representa uma elipse de eixo maior (R+d) e eixo menor (R−d).

c) Para o ponto A a distância d é nula (d = 0, o ponto P coincide com o ponto A), substituindo esta condição no resultado do item (a)

\[ \begin{array}{l} x=R\cos \omega t+0.\dfrac{\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{L}\\ y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\left(L-0\right)\\[10pt] x=R\cos \omega t+0\\ y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega tL \end{array} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\begin{array}{l} x=R\cos \omega t\\[5pt] y=R\operatorname{sen}\omega t \end{array}} \]

estas equações representam um ponto descrevendo uma circunferência de raio R (como esperado).

d) Para o ponto B a distância d é igual a L (d = L, o ponto P coincide com o ponto B), substituindo esta condição no resultado do item (a)

\[ \begin{array}{l} x=R\cos \omega t+L .\dfrac{\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}}{L}\\ y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t\left(L-L\right)\\[10pt] x=R\cos \omega t+\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}\\ y=\dfrac{R}{L}\operatorname{sen}\omega t .0 \end{array} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\begin{array}{l} x=R\cos \omega t+\left(L^{2}-R^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\right)^{\frac{1}{2}}\\[5pt] y=0 \end{array}} \]

estas equações representam um ponto se deslocando apenas sobre o eixo-x.

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