Uma carga de massa M está sobre o solo, um trator levanta a carga se movendo com velocidade constante
v. A distância inicial do trator à carga é igual a d e a polia está a uma altura h. Sendo a
polia ideal e o cabo inextensível, calcule a velocidade de subida da carga.
Dados do problema:
- Massa da carga: M;
- Velocidade do trator: v;
- Distância do trator à carga: d;
- Altura da polia: h.
Esquema do problema:
Na Figura 1-A temos as situações inicial e final do problema. Adotando o solo como horizontal e a corda que
sustenta a carga na vertical o problema se reduz a dois triângulos retângulos com ângulos retos em
\( \hat B \)
(Figura 1-B).
Na situação inicial temos o triângulo ΔABC de catetos h e d e hipotenusa
L1 e na situação final o triângulo ΔABD de catetos h e
(d+x) e hipotenusa L2.
Solução:
Calculando as hipotenusas dos dois triângulos pelo Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
L_1^2=d^2+h^2 \\[5pt]
L_1=\left(d^2+h^2\right)^{1/2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L_2^2=(d+x)^2+h^2 \\[5pt]
L_2=\left[(d+x)^2+h^2\right]^{1/2}
\end{gather}
\]
Calculando a diferença entre
L2 e
L1 temos o comprimento de corda
y que o trator puxou quando ele se deslocou de
x (Figura 2).
\[
\begin{gather}
y=L_2-L_1 \\[5pt]
y=\left[(d+x)^2+h^2\right]^{1/2}-\left(d^2+h^2\right)^{1/2}
\end{gather}
\]
Esta equação fornece o deslocamento da carga, como a velocidade é a derivada do espaço em relação ao
tempo, derivando esta equação temos a velocidade com que a carga sobe
\( \left(v_y=\frac{dy}{dt}\right) \).
Derivada de
\( y=\left[(d+x)^2+h^2\right]^{1/2}-\left(d^2+h^2\right)^{1/2} \)
\[ y=\left[(d+x)^2+h^2\right]^{1/2}-\left(d^2+h^2\right)^{1/2} \]
A função
y(
x) é uma função composta
\[
\begin{gather}
y(u)=\left[u\right]^{1/2}-\left(d^2+h^2\right)^{1/2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
u(w)=(w)^2+h^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
w(x)=(d+x)
\end{gather}
\]
e a variável
x é função do tempo
x(
t).
A derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dy[u(w(x(t)))]}{dt}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dw}\frac{dw}{dx}\frac{dx}{dt} \tag{I}
\end{gather}
\]
as derivadas serão
\[
\begin{gather}
\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}\left[u\right]^{\frac{1}{2}-1}-\underbrace{\left(d^2+h^2\right)^{1/2}}_0=\frac{1}{2}\left[u\right]^{-1/2}=\frac{1}{2u^{1/2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
como
d e
h são constantes a derivada do segundo termo é nula (derivada de constante é zero).
\[
\begin{gather}
\frac{du}{dw}=2w^{2-1}+\underbrace{h^2}_0=2w \tag{III}
\end{gather}
\]
como
h é constante a derivada do segundo termo é nula.
\[
\begin{gather}
\frac{dw}{dx}=\underbrace{d}_0+1=1 \tag{IV}
\end{gather}
\]
como
d é constante a derivada do primeiro termo é nula.
Substituindo as equações (II), (III) e (IV) e a derivada de
x em relação ao tempo em (I)
\[
\begin{align}
\frac{dy}{dt} & =\frac{1}{2u^{1/2}}2w\times 1\times\frac{dx}{dt}=\frac{w}{u^{\frac{1}{2}}}\frac{dx}{dt}= \\[5pt]
& =\frac{(d+x)}{[(w)^2+h^2]^{1/2}}\frac{dx}{dt}=\frac{(d+x)}{[(d+x)^2+h^2]^{1/2}}\frac{dx}{dt}
\end{align}
\]
Como
\( v=\frac{dx}{dt} \)
é a velocidade do trator dada no problema
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_y=\frac{(d+x)v}{[(d+x)^2+h^2]^{1/2}}}
\end{gather}
\]
EN
