Exercício Resolvido de Cinemática
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Uma carga de massa M está sobre o solo, um trator levanta a carga se movendo com velocidade constante
v. A distância inicial do trator à carga é igual a d e a polia está a uma altura h. Sendo a
polia ideal e o cabo inextensível, calcule a velocidade de subida da carga.
Dados do problema:
- Massa da carga: M;
- Velocidade do trator: v;
- Distância do trator à carga: d;
- Altura da polia: h.
Na Figura 1-A temos as situações inicial e final do problema. Adotando o solo como horizontal e a corda que sustenta a carga na vertical o problema se reduz a dois triângulos retângulos com ângulos retos em \( \hat B \) (Figura 1-B).
Na situação inicial temos o triângulo ΔABC de catetos h e d e hipotenusa L1 e na situação final o triângulo ΔABD de catetos h e (d+x) e hipotenusa L2.
Solução
Calculando as hipotenusas dos dois triângulos pelo Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
L_{1}^{2}=d^{2}+h^{2}\\
L_{1}=\left(d^{2}+h^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L_{2}^{2}=(d+x)^{2}+h^{2}\\
L_{2}=\left[(d+x)^{2}+h^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
\end{gather}
\]
Calculando a diferença entre L2 e L1 temos o comprimento de corda
y que o trator puxou quando ele se deslocou de x (Figura 2).
\[
\begin{gather}
y=L_{2}-L_{1}\\
y=\left[(d+x)^{2}+h^{2}\right]^{\frac{1}{2}}-\left(d^{2}+h^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
\end{gather}
\]
Esta expressão fornece o deslocamento da carga, como a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo, derivando esta expressão temos a velocidade com que a carga sobe \( \left(v_{y}=\dfrac{dy}{dt}\right) \).
Derivada de
\( y=\left[(d+x)^{2}+h^{2}\right]^{\frac{1}{2}}-\left(d^{2}+h^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \)
A função y(x) é uma função composta
A derivada é dada pela regra da cadeia
Substituindo as expressões (II), (III) e (IV) e a derivada de x em relação ao tempo em (I)
\[ y=\left[(d+x)^{2}+h^{2}\right]^{\frac{1}{2}}-\left(d^{2}+h^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \]
A função y(x) é uma função composta
\[
y(u)=\left[u\right]^{\frac{1}{2}}-\left(d^{2}+h^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
\]
\[
u(w)=(w)^{2}+h^{2}
\]
\[
w(x)=(d+x)
\]
e a variável x é função do tempo x(t).A derivada é dada pela regra da cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dy[u(w(x(t)))]}{dt}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dw}\frac{dw}{dx}\frac{dx}{dt} \tag{I}
\end{gather}
\]
as derivadas serão
\[
\begin{gather}
\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}\left[u\right]^{\frac{1}{2}-1}-\underbrace{\left(d^{2}+h^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}_{0}=\frac{1}{2}\left[u\right]^{\frac{-{1}}{2}}=\frac{1}{2u^{\frac{1}{2}}} \tag{II}
\end{gather}
\]
como d e h são constantes a derivada do segundo termo é nula (derivada de constante é zero).
\[
\begin{gather}
\frac{du}{dw}=2w^{2-1}+\underbrace{h^{2}}_{0}=2w \tag{III}
\end{gather}
\]
como h é constante a derivada do segundo termo é nula.
\[
\begin{gather}
\frac{dw}{dx}=\underbrace{d}_{0}+1=1 \tag{IV}
\end{gather}
\]
como d é constante a derivada do primeiro termo é nula.Substituindo as expressões (II), (III) e (IV) e a derivada de x em relação ao tempo em (I)
\[
\begin{align}
\frac{dy}{dt}&=\frac{1}{2u^{\frac{1}{2}}}2w.1.\frac{dx}{dt}=\frac{w}{u^{\frac{1}{2}}}\frac{dx}{dt}=\\
&=\frac{(d+x)}{[(w)^{2}+h^{2}]^{\frac{1}{2}}}\frac{dx}{dt}=\frac{(d+x)}{[(d+x)^{2}+h^{2}]^{\frac{1}{2}}}\frac{dx}{dt}
\end{align}
\]
Como \( v=\dfrac{dx}{dt} \) é a velocidade do trator dada no problema
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{y}=\frac{(d+x)v}{[(d+x)^{2}+h^{2}]^{\frac{1}{2}}}}
\]
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