Exercício Resolvido de Cinemática

Determinar o vetor aceleração de um corpo que desliza, a partir do repouso por uma canaleta disposta de forma helicoidal com passo k e raio R ao final da n-ésima volta, despreza-se o atrito.

Dados do problema:

Velocidade inicial do corpo: v₀ = 0,
Raio do helicoide: R;
Passo do helicoide: k.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência cilíndrico (Figura 1-A) onde \( {\mathbf e}_r \), \( {\mathbf e}_z \) e \( {\mathbf e}_{\theta} \) são os vetores unitários das direções r, z e θ.

Figura 1

O vetor aceleração a do corpo aponta para o centro do helicoide na descendente. Este vetor pode ser decomposto em três componentes (Figura 1-B), na direção z a componente \( -{\mathbf a}_z \) apontando para baixo, na direção r a componente \( -{\mathbf a}_r \) apontando para o centro da curva e na direção θ a componente \( {\mathbf a}_{\theta} \) a tangente à curva.

Solução:

O vetor aceleração é dado por

\[ \begin{gather} \mathbf a=-a_r{\mathbf e}_r+a_{\theta}{\mathbf e}_{\theta}-a_z{\mathbf e}_z \tag{I} \end{gather} \]

O módulo da componente na direção r representa a aceleração centrípeta do corpo dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_r=\frac{v^2}{r}} \tag{II} \end{gather} \]

Desenrolando uma volta do helicoide, o passo k representa o cateto de um triângulo retângulo, a projeção do helicoide num plano é uma circunferência de raio R, que desenrolada tem um comprimento 2πR, formando outro cateto (Figura 2). Pelo Teorema de Pitágoras a hipotenusa será

\[ \begin{gather} h^2=k^2+(2\pi R)^2 \\[5pt] h=\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;} \tag{III} \end{gather} \]

Figura 2

que representa o comprimento de uma volta do helicoide.
Da Figura 2 temos as seguintes relações

\[ \begin{gather} \cos\alpha=\frac{2\pi R}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}} \tag{IV-a} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\alpha=\frac{k}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}} \tag{IV-b} \end{gather} \]

A velocidade do corpo é tangente a trajetória helicoidal (Figura 3-A), decompondo a velocidade nas direções θ e z temos as componentes v_θ e v_z. O ângulo entre o vetor velocidade paralelo ao plano inclinado v_t e a direção θ é α, o mesmo ângulo de inclinação do plano, estes ângulos são alternos internos (Figura 3-B).

Figura 3

A componente v_θ é tangente à curva esta componente é usada para o cálculo da aceleração centrípeta dada pela equação (II)

\[ \begin{gather} v_{\theta}=v_t\cos \alpha \end{gather} \]

substituindo v = v_θ e r = R em (II)

\[ \begin{gather} a_r=\frac{v_{\theta}^2}{R} \\[5pt] a_r=\frac{(v_t\cos\theta)^2}{R} \\[5pt] a_r=\frac{v_t^2\cos^2\theta}{R} \end{gather} \]

usando o valor do cosseno obtido em (IV)

\[ \begin{gather} a_r=\frac{v_t^2}{R}\left(\frac{2\pi R}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}}\right)^2 \\[5pt] a_r=\frac{v_t^2}{R}\frac{4\pi^2R^2}{k^2+4\pi^2R^2} \\[5pt] a_r=v_t^2\frac{4\pi^2R}{k^2+4\pi^2R^2} \tag{V} \end{gather} \]

O módulo da velocidade tangencial v_T é encontrado usando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica. Desenroladas todas as n voltas do helicoide teremos um plano inclinado de altura n×k. A energia mecânica inicial (\( E_{m i} \)) no topo do plano, é igual à energia mecânica final (\( E_{m f} \)), na base do plano (Figura 4).

\[ \begin{gather} E_{m i}=E_{m f} \end{gather} \]

Figura 4

Adotando o Nível de Referência (N.R.) na base do plano inclinado e a aceleração da gravidade como g. Temos que, no topo do plano só há energia potencial devido à altura, a energia cinética é nula, v₀ = 0, na base do plano só há energia cinética, a energia potencial é nula, H = 0.
A Energia Potencial é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_p=mgH} \end{gather} \]

A Energia Cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} E_{p i}=E_{c f} \\[5pt] mgH=\frac{mv^2}{2} \\[5pt] mgnk=\frac{mv_t^2}{2} \\[5pt] gnk=\frac{v_t^2}{2} \\[5pt] v_t^2=gnk \tag{VI} \end{gather} \]

substituindo a equação (VI) em (V) a componente na direção r será

\[ \begin{gather} a_r=2gnk\frac{4\pi^2R}{k^2+4\pi^2R^2} \\[5pt] a_r=\frac{8\pi^2Rgnk}{k^2+4\pi^2R^2} \tag{VII} \end{gather} \]

A aceleração da gravidade aponta verticalmente para baixo, a projeção da aceleração da gravidade na direção do plano inclinado será g sen α (Figura 5-A)

Figura 5

Na equação (I) os termos da aceleração nas direções z e θ representam o vetor aceleração tangente à trajetória a_t. Este vetor coincide com a componente da aceleração da gravidade na direção do plano inclinado (Figura 5-B)

\[ \begin{gather} a_t=g\operatorname{sen}\alpha \end{gather} \]

Observação: O vetor aceleração a_t é tangente à trajetória em cada ponto do helicoide, \( {\mathbf a}_t=a_{T}{\mathbf e}_t \), onde e_t é o vetor unitário que dá a direção do vetor aceleração, \( {\mathbf e}_t=\dfrac{{\mathbf a}_t}{a_t} \).
O vetor aceleração pode ser escrito em termos dos vetores unitários e_z e e_θ como sendo \( {\mathbf a}_t=a_{\theta}{\mathbf e}_{\theta}-a_z{\mathbf e}_z \)

\[ \begin{gather} {\mathbf e_t=\frac{a_{\theta}{\mathbf e}_{\theta}-a_z{\mathbf e}_z}{a_t}} \end{gather} \]

Usando a equação para o seno obtido em (IV)

\[ \begin{gather} a_t=g\frac{k}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}} \tag{VIII} \end{gather} \]

O vetor aceleração tangente à trajetória pode ser escrito em termos das componentes nas direções z e θ

\[ \begin{gather} {\mathbf a}_t=a_{\theta}{\mathbf e}_{\theta}-a_z{\mathbf e}_z \end{gather} \]

e a equação (I) pode ser reescrita como

\[ \begin{gather} \mathbf a=-a_r{\mathbf e}_r+a_t{\mathbf e}_t \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo as equações (VII) e (VIII) na equação (IX)

\[ \begin{gather} \mathbf a=-{\frac{8\pi^2Rgnk}{k^2+4\pi^2R^2}}{\mathbf e}_r+\frac{gk}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}}{\mathbf e}_t \end{gather} \]

colocando o temo \( \frac{gk}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}} \) em evidência

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf a=\frac{gk}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}}\left(\frac{-{8\pi^2Rn}}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}}{\mathbf e}_r+{\mathbf e}_t\right)} \end{gather} \]

e seu módulo será

\[ \begin{gather} a=\frac{gk}{\sqrt{\;k^2+4\pi^2R^2\;}}\left[\left(\frac{-{8\pi^2Rn}}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}}\right)^2+1^2\right]^{1/2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=\frac{gk}{\sqrt{k^2+4\pi^2R^2\;}}\left[\frac{64\pi^4R^2n^2}{k^2+4\pi^2R^2\;}+1\right]^{1/2}} \end{gather} \]