Exercício Resolvido de Circuitos RLC
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Para um circuito RLC em série, determine:
a) A equação para as oscilações dada pela carga em função do tempo q(t);
b) A solução da equação para o circuito no caso de amortecimento subcrítico, e a frequência angular das oscilações.
a) A equação para as oscilações dada pela carga em função do tempo q(t);
b) A solução da equação para o circuito no caso de amortecimento subcrítico, e a frequência angular das oscilações.
Solução
a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_{i=1}^{n}V_{i}=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Entre os pontos A e C temos uma d.d.p. no indutor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
entre os pontos B e D temos a d.d.p. no capacitor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
entre os pontos A e B temos a d.d.p. no resistor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{R}=Ri} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II), (III) e (IV) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
V_{L}+V_{R}+V_{C}=0\\[5pt]
L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
a corrente é a variação da carga no tempo
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{i=\frac{dq}{dt}} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0\\[5pt]
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
indutância L
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0}
\end{gather}
\]
b) Na equação do item anterior vamos fazer as seguintes definições
\[
\begin{gather}
2\gamma \equiv \frac{R}{L} \tag{VI}\\[10pt]
\omega ^{2}\equiv\frac{1}{LC} \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+2\gamma \frac{dq}{dt}+\omega ^{2}q=0 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{array}{l}
q=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\dfrac{dq}{dt}=\lambda\operatorname{e}^{\;\lambda t}\\[5pt]
\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{array}
\]
substituindo estes valores na equação do item (a)
\[
\begin{gather}
\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\;\lambda t}+2\gamma\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}+\omega^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda ^{2}+2\gamma \lambda +\omega^{2}\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+2\gamma \lambda +\omega^{2}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda^{2}+2\gamma \lambda +\omega^{2}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{array}{l}
\Delta=b^{2}-4ac=\left(2\gamma \right)^{2}-4.1.\omega^{2}=4\gamma ^{2}-4\omega ^{2}=4\left(\gamma^{2}-\omega^{2}\right)\\[5pt]
\lambda_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\dfrac{-2\gamma +\sqrt{4\left(\gamma^{2}-\omega^{2}\right)\;}}{2.1}=-{\dfrac{2\gamma }{2}}+\dfrac{2\sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}\;}}{2}=-\gamma +\sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}\;}\\[5pt]
\lambda_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\dfrac{-2\gamma-\sqrt{4\left(\gamma^{2}-\omega^{2}\right)\;}}{2.1}=-{\dfrac{2\gamma}{2}}-\dfrac{2\sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}\;}}{2}=-\gamma -\sqrt{\gamma^{2}-\omega ^{2}\;}
\end{array}
\]
Para que o circuito oscile com amortecimento subcrítico devemos ter
ω2>γ2, o termo na raiz quadrada será
\[
\begin{gather}
\sqrt{-1.\left(\omega^{2}-\gamma^{2}\right)}=\sqrt{-1}.\sqrt{\left(\omega ^{2}-\gamma^{2}\right)}=i\sqrt{\left(\omega ^{2}-\gamma ^{2}\right)}
\end{gather}
\]
onde \( i=\sqrt{-1} \)A solução da expressão (VIII) é escrita como
\[
\begin{gather}
q=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{\left(-\gamma +i\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\right)t}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-\gamma-i\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\right)t}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{\left(-\gamma t+i\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-\gamma t-i\sqrt{\omega^{2}-\gamma ^{2}\;}\;t\right)}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{-\gamma t}\operatorname{e}^{\left(i\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)}+C_{2}\operatorname{e}^{-\gamma t}\operatorname{e}^{\left(-i\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)}\\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left[C_{1}\operatorname{e}^{\left(i\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-i\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)}\right]
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Relação de Euler
\( \operatorname{e}^{i\theta}=\cos \theta +i \operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{split}
q=&\operatorname{e}^{-\gamma t}\left[C_{1}\operatorname{e}^{\left(i\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-i\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)}\right]\\[8pt]
q=&\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{C_{1}\left[\cos \left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)+i\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)\right]\right.+\\
&\left.+C_{2}\left[\cos\left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)-i\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)\right]\right\}\\[8pt]
q=&\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{C_{1}\cos \left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)+iC_{1}\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma ^{2}\;}\;t\right)\right.+\\
&\left.+C_{2}\cos\left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)-iC_{2}\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma ^{2}\;}\;t\right)\right\}\\[8pt]
q=&\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos \left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)+i\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)\right\}
\end{split}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2} \quad \text{e} \quad \beta \equiv \text{i}(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\alpha \;\cos \left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma ^{2}\;}\;t\right)+\beta\;\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)\right\}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por
\( \sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;} \)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\alpha \;\cos\left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma ^{2}\;}\;t\right)+\beta\;\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)\right\}\frac{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}}\\[5pt]
q=\sqrt{\alpha^{2}+\beta ^{2}\;}\;\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}}\;\cos \left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\;\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)\right\}
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{array}{l}
A\equiv \sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}\\[5pt]
\cos \varphi \equiv \dfrac{\alpha }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}}\\[5pt]
\operatorname{sen}\varphi \equiv \dfrac{\beta }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}
\end{array}
\]
\[
\begin{gather}
q=A\;\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\cos \varphi \;\cos\left(\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)+\operatorname{sen}\varphi\;\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t\right)\right\}
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( \cos (a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \)
\[
\begin{gather}
q=A\;\operatorname{e}^{-\gamma t}\;\cos \left(\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}\;t-\varphi \right)
\end{gather}
\]
a frequência angular ω0 é dada por
\[
\begin{gather}
\omega_{0}=\sqrt{\omega ^{2}-\gamma^{2}\;}
\end{gather}
\]
usando as definições feitas em (VI) e (VII) para ω2 e γ
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}\;}}
\end{gather}
\]
A solução da equação para a carga é escrita como
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=A\;\operatorname{e}^{-\gamma t}\;\cos \left(\omega_{0}t-\varphi\right)}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.
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