Para um circuito RLC em série, determine:
a) A equação para as oscilações dada pela carga em função do tempo q(t);
b) A solução da equação para o circuito no caso de amortecimento subcrítico, e a frequência angular das
oscilações.
Solução:
a) Aplicando a
Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_{i=1}^nV_i=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Entre os pontos A e C temos uma d.d.p. no indutor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
entre os pontos B e D temos a d.d.p. no capacitor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
entre os pontos A e B temos a d.d.p. no resistor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small R}=Ri} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II), (III) e (IV) na equação (I)
\[
\begin{gather}
V_{\small L}+V_{\small R}+V_{\small C}=0 \\[5pt]
L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
a corrente é a variação da carga no tempo
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{i=\frac{dq}{dt}} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0 \\[5pt]
L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
indutância L
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0}
\end{gather}
\]
b) Na equação do item anterior vamos fazer as seguintes definições
\[
\begin{gather}
2\gamma\equiv\frac{R}{L} \tag{VI} \\[10pt]
\omega^2\equiv\frac{1}{LC} \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+2\gamma\frac{dq}{dt}+\omega^2q=0 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{array}{l}
q=\operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\dfrac{dq}{dt}=\lambda\operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\dfrac{d^2q}{dt^2}=\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{array}
\]
substituindo estes valores na equação do item (a)
\[
\begin{gather}
\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}+2\gamma\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}+\omega^2\operatorname{e}^{\lambda t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega^2\right)=0 \\[5pt]
\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega^2=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}} \\[5pt]
\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega^2=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{array}{l}
\Delta=b^2-4ac=\left(2\gamma\right)^2-4\times 1\times\omega^2=4\gamma^2-4\omega^2=4\left(\gamma^2-\omega^2\right) \\[5pt]
\lambda_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\dfrac{-2\gamma +\sqrt{4\left(\gamma^2-\omega^2\right)\;}}{2\times 1}=-{\dfrac{2\gamma }{2}}+\dfrac{2\sqrt{\gamma^2-\omega^2\;}}{2}=-\gamma +\sqrt{\gamma^2-\omega^2\;} \\[5pt]
\lambda_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\dfrac{-2\gamma-\sqrt{4\left(\gamma^2-\omega^2\right)\;}}{2\times 1}=-{\dfrac{2\gamma}{2}}-\dfrac{2\sqrt{\gamma^2-\omega^2\;}}{2}=-\gamma -\sqrt{\gamma^2-\omega^2\;}
\end{array}
\]
Para que o circuito oscile com amortecimento subcrítico devemos ter
ω2>γ2, o termo na raiz quadrada será
\[
\begin{gather}
\sqrt{-1\times\left(\omega^2-\gamma^2\right)}=\sqrt{-1}\times\sqrt{\left(\omega^2-\gamma^2\right)}=i\sqrt{\left(\omega^2-\gamma^2\right)}
\end{gather}
\]
onde \( i=\sqrt{-1} \)
A solução da equação (VIII) é escrita como
\[
\begin{gather}
q=C_1\operatorname{e}^{\lambda_1t}+C_2\operatorname{e}^{\lambda_2t} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{\left(-\gamma +i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\right)t}+C_2\operatorname{e}^{\left(-\gamma-i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\right)t} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{\left(-\gamma t+i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)}+C_2\operatorname{e}^{\left(-\gamma t-i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{-\gamma t}\operatorname{e}^{\left(i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)}+C_2\operatorname{e}^{-\gamma t}\operatorname{e}^{\left(-i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)} \\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left[C_1\operatorname{e}^{\left(i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)}+C_2\operatorname{e}^{\left(-i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)}\right]
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Relação de Euler
\( \operatorname{e}^{i\theta}=\cos\theta +i \operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{split}
q=&\operatorname{e}^{-\gamma t}\left[C_1\operatorname{e}^{\left(i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)}+C_2\operatorname{e}^{\left(-i\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)}\right] \\[5pt]
q=&\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{C_1\left[\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)+i\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right]\right.+\\
&\left.+C_2\left[\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)-i\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right]\right\} \\[5pt]
q=&\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{C_1\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)+iC_1\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right.+\\
&\left.+C_2\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)-iC_2\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right\} \\[5pt]
q=&\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\left(C_1+C_2\right)\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)+i\left(C_1-C_2\right)\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right\}
\end{split}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha\equiv C_1+C_2 \quad\text{e}\quad\beta\equiv\mathrm i(C_1-C_2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\alpha\;\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)+\beta\;\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right\}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta equação por
\( \sqrt{\alpha^2+\beta^2\;} \)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\alpha\;\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)+\beta\;\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right\}\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}} \\[5pt]
q=\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}\;\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}\;\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}\;\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right\}
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{array}{l}
A\equiv\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;} \\[5pt]
\cos\varphi\equiv\dfrac{\alpha }{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}} \\[5pt]
\operatorname{sen}\varphi \equiv\dfrac{\beta }{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}
\end{array}
\]
\[
\begin{gather}
q=A\;\operatorname{e}^{-\gamma t}\left\{\cos\varphi\;\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)+\operatorname{sen}\varphi\;\operatorname{sen}\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t\right)\right\}
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( \cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \)
\[
\begin{gather}
q=A\;\operatorname{e}^{-\gamma t}\;\cos\left(\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}\;t-\varphi\right)
\end{gather}
\]
a frequência angular ω0 é dada por
\[
\begin{gather}
\omega_0=\sqrt{\omega^2-\gamma^2\;}
\end{gather}
\]
usando as definições feitas em (VI) e (VII) para ω2 e γ
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^2\;}}
\end{gather}
\]
A solução da equação para a carga é escrita como
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=A\;\operatorname{e}^{-\gamma t}\;\cos\left(\omega_0t-\varphi\right)}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.
EN
