Exercício Resolvido de Circuitos RLC
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Mostre que o valor médio da tensão, aplicada a um elemento de um circuito, que tenha sua variação proporcional ao seno ou cosseno é igual à zero. Mostre que o valor eficaz da tensão é igual à \( \dfrac{\sqrt{2}}{2}V_{m} \), onde Vm é o valor instantâneo máximo da tensão aplicada.
Solução
Vamos escrever a tensão instantânea proporcional ao seno
\[
\begin{gather}
V(t)=V_{m}\operatorname{sen}\omega t \tag{I}
\end{gather}
\]
O valor médio de uma função é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\langle f(t)\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\;dt} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a tensão (I) em (II), fazendo f(t) = V(t)
\[
\langle V\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{m}\operatorname{sen}\omega t\;dt
\]
O período de oscilação é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{T=\frac{2\pi}{\omega}}
\]
\[
\begin{gather}
\langle V\rangle =\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}V_{m}\operatorname{sen}\omega t\;dt\\
\langle V\rangle =\frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}V_{m}\operatorname{sen}\omega t\;dt
\end{gather}
\]
sendo o valor da tensão instantânea máxima (Vm) constante ela pode “sair” da integral
\[
\langle V\rangle =\frac{V_{m}\omega}{2\pi}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}\omega t\;dt
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}}\operatorname{sen}\omega t\;dt \)
fazendo a mudança de variável
para t = 0
temos u = 0
para \( t=\dfrac{2\pi}{\omega} \) temos \( u=\cancel{\omega} \dfrac{2\pi}{\cancel{\omega}}=2\pi \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\omega t\\
\dfrac{du}{dt}=\omega \Rightarrow dt=\dfrac{du}{\omega}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para t = 0
temos u = 0
para \( t=\dfrac{2\pi}{\omega} \) temos \( u=\cancel{\omega} \dfrac{2\pi}{\cancel{\omega}}=2\pi \)
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\omega t\;dt & =\int_{0}^{{2\pi}}\operatorname{sen}u\frac{du}{\omega}=\left.-\cos u\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}\text{=}\\
& =-\left(\cos 2\pi -\cos 0\right)=-(1-1)=0
\end{align}
\]
\[
\langle V\rangle =\frac{V_{m}\omega}{2\pi}.0
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle V\rangle =0}
\]
O valor eficaz de uma grandeza que oscila proporcionalmente ao seno ou cosseno é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f_{ef}=\left[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)^{2}\;dt\right]^{1/2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo o quadrado da expressão (I) na expressão (III)
\[
V_{ef}=\left[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{m}^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\;dt\right]^{1/2}
\]
substituindo o período de oscilação
\[
V_{ef}=\left[\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}V_{m}^{2}\operatorname{sen}^{2}\omega t\;dt\right]^{1/2}
\]
sendo o valor da tensão instantânea máxima (Vm) constante ela pode “sair” da integral
\[
V_{ef}=\left[\frac{V_{m}^{2}\omega}{2\pi}\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}^{2}\omega t\;dt\right]^{1/2}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}^{2}\omega t\;dt \)
fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^{2}x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x \), com \( x=\omega t \)
para t = 0
temos u = 0
para \( t=\dfrac{2\pi}{\omega} \)
temos \( u=\cancel{\omega} \dfrac{2\pi}{\cancel{\omega}}=2\pi \)
fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^{2}x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x \), com \( x=\omega t \)
\[
\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}^{2}\omega t\;dt=\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2\omega t\right)\;dt=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}dt-\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\cos 2\omega t\;dt\right)
\]
na 2.ª integral entre parênteses fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\omega t\\
\dfrac{du}{dt}=\omega \Rightarrow dt=\dfrac{du}{\omega}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para t = 0
temos u = 0
para \( t=\dfrac{2\pi}{\omega} \)
temos \( u=\cancel{\omega} \dfrac{2\pi}{\cancel{\omega}}=2\pi \)
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}^{2}\omega t\;dt & =\frac{1}{2}\left(\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega}}-\int_{0}^{{2\pi}}\cos u\frac{du}{\omega}\right)\text{=}\\
& =\frac{1}{2}\left[\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega}}-\frac{1}{\omega}\left(\left.\operatorname{sen}u\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}\right)\right]\text{=}\\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2\pi}{\omega}-0-\frac{1}{\omega }\left(\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0\right)\right]\text{=}\\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2\pi}{\omega}-\frac{1}{\omega}.0\right]=\frac{\pi}{\omega}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
V_{ef}=\left[\frac{V_{m}^{2}\omega}{2\pi}\frac{\pi}{\omega}\right]^{1/2}\\
V_{ef}=\left[\frac{V_{m}^{2}}{2}\right]^{1/2}\\
V_{ef}=V_{m}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\\
V_{ef}=V_{m}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right]
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{V_{ef}=\frac{\sqrt{2}}{2}V_{m}}
\]
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