Exercício Resolvido de Potencial Elétrico
publicidade   



Um fio de comprimento L é carregado com uma carga Q distribuída uniformemente pelo fio, determinar:
a) O potencial elétrico num ponto P da reta que contém o fio, x > L (coordenada do ponto P externa ao fio);


b) O vetor campo elétrico no mesmo ponto.


Dados do problema:
  • Comprimento do fio:    L;
  • Carga do fio:    Q.
Esquema do problema:

Adotando como referencial a ponta esquerda do fio, a distância da origem ao ponto P é igual xp, a distância da origem a um elemento de carga dq é igual a xq a distância de um elemento de carga dq ao ponto P será x (Figura 1).

Figura 1

Solução

a) O potencial elétrico é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{d q}{r}}} \tag{I} \end{gather} \]
Com r=x, a distância de um elemento de carga ao ponto onde se deseja calcular o potencial elétrico será (Figura 1)
\[ \begin{gather} x=x_{p}-x_{q} \tag{II} \end{gather} \]
Da expressão da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\lambda =\frac{d q}{d s}} \]
\[ \begin{gather} d q=\lambda \;d s \tag{III} \end{gather} \]
onde ds é um elemento de comprimento do fio
\[ \begin{gather} ds=dx_{q} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} dq=\lambda \;dx_{q} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) e (V) na expressão (I)
\[ \begin{gather} V=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda dx_{q}}{(x_{p}-x_{q})}} \tag{VI} \end{gather} \]
Como a densidade de carga λ é constante, a integral depende apenas de xq, ela pode “sair” da integral, podemos escrever
\[ V=\frac{\lambda }{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{dx_{q}}{(x_{p}-x_{q})}} \]
Os limites de integração serão 0 e L (o comprimento do fio carregado)
\[ V=\frac{\lambda }{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{0}}^{{L}}{\frac{dx_{q}}{(x_{p}-x_{q})}} \]
Integral de    \( \displaystyle \int_{{0}}^{{L}}{\frac{dx_{q}}{(x_{p}-x_{q})}} \)

fazendo a mudança de variável
\[ \begin{array}{l} u=x_{p}-x_{q}\\ \dfrac{du}{dx_{q}}=-1\Rightarrow -dx\Rightarrow dx=-du \end{array} \]
fazendo a mudança dos extremos de integração

para   xq=0 temos   \( u=x_{p}-0\Rightarrow u=x_{p} \)

para   xq=L temos   \( u=x_{p}-L \)
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int_{x_{p}}^{x_{p}-L}\frac{-du}{u} & \Rightarrow \displaystyle -\int_{x_{p}}^{x_{p}-L}{\frac{1}{u}du}\Rightarrow -\;\left.\ln u\;\right|_{\;x_{p}}^{\;x_{p}-L} \Rightarrow\\ & \Rightarrow -\left[\ln (x_{p}-L)-\ln x_{p}\right] \Rightarrow \\ & \Rightarrow \ln x_{p}-\ln (x_{p}-L)\Rightarrow \ln\left(\dfrac{x_{p}}{x_{p}-L}\right) \end{array} \]
\[ \begin{gather} V=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\ln \left(\frac{x_{p}}{x_{p}-L}\right) \tag{VII} \end{gather} \]
A densidade linear de carga pode ser escrita
\[ \begin{gather} \lambda =\frac{Q}{L} \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}L}\ln \left(\frac{x_{p}}{x_{p}-L}\right)} \]

b) O vetor campo elétrico é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{E}=-\nabla V} \]
onde \( \nabla \) é o operador nabla dado por \( \left(\dfrac{\partial}{\partial x}\;\mathbf{i}+\dfrac{\partial}{\partial y}\;\mathbf{j}+\dfrac{\partial}{\partial z}\;\mathbf{k}\right) \)

\[ \begin{gather} \mathbf{E}=-\left(\frac{\partial}{\partial x}\;\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\;\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\;\mathbf{k}\right)V\\ \mathbf{E}=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\;\mathbf{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\;\mathbf{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\;\mathbf{k}\right) \end{gather} \]
O problema é unidimensional, portanto as derivadas em y e z são nulas.

Derivada parcial do potencial em relação a x
\[ \frac{dV}{dx_{p}}=\frac{d}{dx_{p}}\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}L}\ln\left(\frac{x_{p}}{x_{p}-L}\right) \]
o termo \( \dfrac{Q}{4\pi \epsilon_{0}L} \) é constante, portanto pode “sair” da derivada
\[ \frac{dV}{dx_{p}}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}L}\frac{d}{dx_{p}}\ln\left(\frac{x_{p}}{x_{p}-L}\right) \]
a função V(xp) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[ \frac{dV[u(x_{p})]}{dx_{p}}=\frac{dV}{du}\frac{du}{dx_{p}} \]
com \( V(u)=\ln u \) e \( u(x_{p})=\dfrac{x_{p}}{x_{p}-L} \), assim as derivadas serão
\[ \frac{dV(u)}{du}=\frac{1}{u} \]
a função u(xp) é um quociente de funções (em xp), \( u=\dfrac{f}{g} \), a derivada é da forma \( u'=\dfrac{f'g-g'f}{g^{2}} \), com f = xp e g = xp−L
\[ \frac{du(x_{p})}{dx_{p}}=\frac{1.(x_{p}-L)-x_{p}.1}{(x_{p}-L)^{2}} \Rightarrow \frac{(x_{p}-L)-x_{p}}{(x_{p}-L)^{2}} \Rightarrow \frac{x_{p}-L-x_{p}}{(x_{p}-L)^{2}} \Rightarrow \frac{-L}{(x_{p}-L)^{2}} \]
Substituindo as derivadas
\[ \begin{gather} \frac{dV}{dx_{p}}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}\cancel{L}}\frac{1}{ \left[ \dfrac{x_{p}}{\cancel{x_{p}-L}} \right] }.\left[-\frac{\cancel{L}}{(x_{p}-L)^{\cancel{2}}}\right]\\ \frac{dV}{dx_{p}}=-{\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}}\frac{1}{x_{p}(x_{p}-L)} \end{gather} \]
\[ \mathbf{E}=-\left[-\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0} L}\left(\frac{L}{x_{p}(x_{p}-L)}\right)\right]\mathbf{i} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{x_{p}(x_{p}-L)}\mathbf{i}} \]
e o módulo do campo elétrico será
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{x_{p}(x_{p}-L)}} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .