Considere dois planos paralelos, um carregado com carga +q e outro com carga −q de
densidades superficiais constantes. Determine o módulo do campo elétrico para pontos entre os dois planos e
para pontos fora dos planos.
Dados do problema:
- Carga do plano 1: +q;
- Carga do plano 2: −q.
Esquema do problema:
As cargas positivas geram um campo elétrico de afastamento da placa E+ na direção vertical
e com sentido para cima na face superior da placa e com sentido para baixo na face inferior. As cargas
negativas geram um campo elétrico de aproximação da placa (E−) na direção vertical
e com sentido para baixo na face superior da placa e com sentido para cima na face inferior (Figura 1-A).
Vamos adotar um sistema de referência com o vetor unitário k para “fora” da placa, no mesmo sentido
do campo elétrico para a placa carregada positivamente e com sentido contrário ao campo para a placa
carregada negativamente (Figura 1-B).
Solução:
Para a placa carregada positivamente vamos adotar uma superfície Gaussiana formada por um cilindro
que atravessa o centro da placa, com as linhas do campo elétrico atravessando a superfície para fora
(Figura 2-A).
Seja um vetor unitário n perpendicular às faces superior, inferior e lateral do cilindro
(AS, AI e AL), conforme Figuras 2-B e 2-C.
A Lei de Gauss é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\oint_A\mathbf E\cdot d\mathbf A=\frac{q}{\epsilon_0}}
\end{gather}
\]
onde a integral é a soma das integrais sobre cada uma das áreas da superfície do cilindro
\[
\begin{gather}
\int_{A_{\small S}}{\mathbf E}_{\small +}\cdot d\mathbf A_{\small S}+\int_{A_{\small I}}{\mathbf E}_{\small +}\cdot d\mathbf A_{\small I}+\int_{A_{\small L}}{\mathbf E}_{\small +}\cdot d\mathbf A_{\small L}=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
As áreas superior e inferior são iguais à área de um círculo
(AS=AI=AC)
\[
\begin{gather}
\int_{A_{\small C}}{\mathbf E}_{\small +}\cdot d\mathbf A_{\small C}+\int_{A_{\small C}}{\mathbf E}_{\small +}\cdot d\mathbf A_{\small C}+\int_{A_{\small L}}{\mathbf E}_{\small +}\cdot d\mathbf A_{\small L}=\frac{q}{\epsilon_0}\\[5pt]
2\int_{A_{\small C}}{\mathbf E}_{\small +}\cdot d\mathbf A_{\small C}+\int_{A_{\small L}}{\mathbf E}_{\small +}\cdot d\mathbf A_{\small L}=\frac{q}{\epsilon_0} \tag{I}
\end{gather}
\]
O vetor campo elétrico só possui componente na direção k, pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_{\small +}=E_{\small +}\;\mathbf k \tag{II}
\end{gather}
\]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d\mathbf A=dA\;\mathbf n \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II) e (III) na equação (I)
\[
\begin{gather}
2\int_{A_{\small C}}E_{\small +}\;\mathbf k\cdot dA_{\small C}\;\mathbf n+\int_{A_{\text{L}}}E_{\small +}\;\mathbf k\cdot dA_{\small L}\mathbf n=\frac{q}{\epsilon_0}\\[5pt]
2\int_{A_{\small C}}E_{\small +}\;dA_{\small C}\;\underbrace{\mathbf k\cdot \mathbf n}_1+\int_{A_{\small L}}E_{\small +}\;dA_{\small L}\;\underbrace{\mathbf k\cdot \mathbf n}_{0}=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Observação: Como
k e
n são vetores unitários, seus módulos são iguais a 1, e
como ambos estão na mesma direção e sentido nas faces superior e inferior o ângulo entre eles é nulo
(
θ = 0)
\( \mathbf k\cdot \mathbf n=|\;\mathbf k\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos 0=1\times 1\times 1=1 \).
\[ \mathbf k\cdot \mathbf n=|\;\mathbf k\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos 0=1\times 1\times 1=1 \]
Para a face lateral do cilindro
k é perpendicular a
n
\( \left(\theta=\frac{\pi}{2}\right) \)
o produto escalar será
\( \mathbf k\mathbf n=|\;\mathbf k\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos\frac{\pi}{2}=1\times 1\times 0=0 \).
\[ \mathbf k\mathbf n=|\;\mathbf k\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos\frac{\pi}{2}=1\times 1\times 0=0 \]
\[
\begin{gather}
2\int_{A_{\small C}}E_{\small +}\;dA_{\small C}=\frac{q}{\epsilon_0} \tag{IV}
\end{gather}
\]
A densidade superficial de cargas é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sigma =\frac{q}{A}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\sigma A \tag{V}
\end{gather}
\]
onde A representa a área onde as cargas estão distribuídas internamente à superfície Gaussiana
(não toda a área da placa), e colocando o campo elétrico para fora da integral, substituindo a equação (V)
na equação (IV)
\[
\begin{gather}
2E_{\small +}\underbrace{\int_{A_{\small C}}dA_{\small C}}_{A}=\frac{\sigma A}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
a integral da área do círculo é igual a área A da placa, interna à superficial Gaussiana,
onde estão distribuídas as cargas
\[
\begin{gather}
2E_{\small +}A=\frac{\sigma A}{\epsilon_0} \\[5pt]
E_{\small +}=\frac{\sigma }{2\epsilon_0} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Analogamente para a placa carregada negativamente temos a mesma superfície Gaussiana com a diferença
de que as linhas do campo elétrico atravessam a superfície para dentro (Figura 3-A).
O vetor unitário (n) tem a mesma orientação do caso anterior, Figuras 3-B e 3-C.
Usando a Lei de Gauss novamente temos a mesma situação com a carga negativa da placa
\[
\begin{gather}
\int_{A_{\small S}}{\mathbf E}_{\small -}\cdot d\mathbf A_{\small S}+\int_{A_{\small I}}{\mathbf E}_{\small -}\cdot d\mathbf A_{\small I}+\int_{A_{\small L}}{\mathbf E}_{\small -}\cdot d\mathbf A_{\small L}=\frac{-q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
As áreas superior e inferior são igual a área de um círculo
(AS=AI=AC)
\[
\begin{gather}
\int_{A_{\small C}}{\mathbf E}_{\small -}\cdot d\mathbf A_{\small C}+\int_{A_{\small C}}{\mathbf E}_{\small -}\cdot d\mathbf A_{\small C}+\int_{A_{\small L}}{\mathbf E}_{\small -}\cdot d\mathbf A_{\small L}=-{\frac{q}{\epsilon_0}}\\[5pt]
2\int_{A_{\small C}}{\mathbf E}_{\small -}\cdot d\mathbf A_{\small C}+\int_{A_{\small L}}{\mathbf E}_{\small -}\cdot d\mathbf A_{\small L}=-{\frac{q}{\epsilon_0}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
O vetor campo elétrico só possui componente na direção −k com sentido contrário à orientação,
é escrito como
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_{\small -}=-E_{\small -}\;\mathbf k \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (VIII) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
2\int_{A_{\small C}}-E_{\small -}\;\mathbf k\cdot dA_{\small C}\;\mathbf n+\int_{A_{\small L}}-E_{\small -}\;\mathbf k\cdot dA_{\small L}\mathbf n=-{\frac{q}{\epsilon_0}} \\[5pt]
-2\int_{A_{\small C}}E_{\small -}\;dA_{\small C}\;\underbrace{\mathbf k\cdot\mathbf n}_1-\int_{A_{\small L}}E_{\small -}\;dA_{\small L}\;\underbrace{\mathbf k\cdot\mathbf n}_{0}=-{\frac{q}{\epsilon_0}} \\[5pt]
-2\int_{A_{\small C}}E_{\small -}\;dA_{\small C}=-{\frac{q}{\epsilon_0}\epsilon_0} \\[5pt]
2\int_{A_{\small C}}E_{\small -}\;dA_{\small C}=\frac{q}{\epsilon_0} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
2E_{\small -}\underbrace{\int_{A_{\small C}}dA_{\small C}}_{A}=\frac{\sigma A}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
esta é a mesma integral calculada acima, o que nos leva ao mesmo resultado encontrado na equação (VI)
\[
\begin{gather}
E_{\small -}=\frac{\sigma }{2\;\epsilon _{0}} \tag{X}
\end{gather}
\]
Entre as placas os campos elétricos devido às placas carregadas positiva e negativamente têm a mesma
direção e o mesmo sentido, assim o módulo do campo elétrico resultante(
E) será dada pela soma das
equações (VI) e (X)
\[
\begin{gather}
E=E_{\small +}+E_{\small -}\\[5pt]
E=\frac{\sigma}{2\epsilon _{0}}+\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\\[5pt]
E=2\frac{\sigma}{2\epsilon_0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{\small -}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}}
\end{gather}
\]
Na região fora das placas os campos elétricos têm sentidos opostos, assim o módulo do campo elétrico
resultante será dada pela diferença das equações (VI) e (X)
\[
\begin{gather}
E=E_{\small +}-E_{\small -}\\[5pt]
E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}-\frac{\sigma }{2\epsilon_0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{\small -}=0}
\end{gather}
\]
Observação: Esta solução vale para pontos longe das bordas das placas e pequena
distância de separação entre elas, onde o campo elétrico é uniforme, região em destaque na Figura 5.
Próximo às bordas das placas o campo elétrico não é constante devido ao encurvamento das linhas do
campo elétrico, este é o chamado Efeito de Borda.
