Determine o módulo do campo elétrico de um fio infinito carregado com uma distribuição de cargas de
densidade linear constante λ.
Dados do problema:
- Densidade linear de cargas: λ.
Esquema do problema:
Vamos assumir que o fio está carregado com uma carga positiva (Q > 0) e seu raio é desprezível.
Para determinar o módulo do campo elétrico devemos considerar apenas os pontos no exterior do fio (como
desprezamos o raio do fio não consideramos pontos internos), envolvendo o fio infinito por uma
superfície Gaussiana de comprimento L (Figura 1).
Solução:
A Lei de Gauss é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\oint_A{\mathbf E}\cdot d\mathbf A=\frac{q}{\epsilon_0}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção
er, e em cada elemento de área dA da superfície temos um vetor unitário
n perpendicular à superfície e orientado para fora (Figura 2).
O vetor campo elétrico só possui componente na direção er pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=E{\;\mathbf e}_r \tag{II}
\end{gather}
\]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d\mathbf A=dA\;\mathbf n \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II) e (III) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;{\mathbf e}_r\cdot dA\;\mathbf n=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Nas partes superior e inferior da
superfície Gaussiana o vetor campo elétrico e o vetor elemento
de área são ortogonais (Figura 3)
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;dA\;\underbrace{{\mathbf e}_r\cdot\mathbf n}_{0}=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Observação: Como
er e
n são vetores unitários seus módulos
são iguais a 1 e como ambos estão em direções perpendiculares entre si o ângulo entre eles é
\( \theta=\frac{\pi}{2} \)
\( \mathbf e_r\cdot\mathbf n=|\;\mathbf e_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos\frac{\pi}{2}=1\times 1\times 0=0 \)
\[ \mathbf e_r\cdot\mathbf n=|\;\mathbf e_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos\frac{\pi}{2}=1\times 1\times 0=0 \]
.
Então o fluxo do campo elétrico nesta direção é nulo
\( \Phi_{\text{E}}={\large\oint}_{A}E\;d A\times 0=0 \)
e não contribui para o campo elétrico do fio.
Na lateral da superfície Gaussiana
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;dA\;\underbrace{{\mathbf e}_r\cdot\mathbf n}_1=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Observação: Como
er e
n são vetores unitários seus módulos
são iguais a 1 e como ambos estão na mesma direção e sentido o ângulo entre eles é nulo (
θ = 0)
\( {\mathbf e}_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf e}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos 0=1\times 1\times 1=1 \)
\[ {\mathbf e}_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf e}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos 0=1\times 1\times 1=1 \]
.
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;dA=\frac{q}{\epsilon_0} \tag{IV}
\end{gather}
\]
O elemento de área dA em coordenadas cilíndricas será (Figura 4-A)
\[
\begin{gather}
dA=r\;d\phi \;dz \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
\int_{A}E\;r\;d\phi \;dz=\frac{q}{\epsilon_0} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Como o campo elétrico é uniforme e a integral não depende do raio, o campo pode “sair” da integral e como
não existem termos “cruzados” em z e ϕ as integrais podem ser separadas
\[
\begin{gather}
Er\int d\phi \int dz=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão de 0 a L em dz de 0 e 2π em dϕ, uma volta
completa no cilindro (Figura 4-B)
\[
\begin{gather}
Er\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{L}dz=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{2\pi}\;d\phi \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{2\pi}\;d\phi=\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{L}\;dz \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{L}\;dz=\left.z\;\right|_{\;0}^{\;L}=L-0=L
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E r\times 2\pi\times L=\frac{q}{\epsilon_0} \\[5pt]
E=\frac{q}{2\pi\epsilon _{0}rL} \tag{VII}
\end{gather}
\]
da equação da densidade linear de cargas
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda=\frac{q}{L}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\lambda L \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VIII) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
E=\frac{\lambda \cancel{L}}{2\pi\epsilon_0r\cancel{L}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{\lambda }{2\pi\epsilon_0r}}
\end{gather}
\]
