Determine o módulo do campo elétrico, em todo o espaço, gerado por uma esfera maciça carregada com uma
carga Q distribuída com uma densidade volumétrica de carga dada por ρ = αr,
onde α é uma constante que torna a equação dimensionalmente consistente.
Dados do problema:
- Carga da esfera: Q;
- Densidade volumétrica de carga: ρ = αr.
Esquema do problema:
Vamos assumir que a esfera está carrega com uma carga positiva (
q > 0) e seu raio é igual a
r.
A distribuição de cargas varia linearmente com o raio com a equação
\[
\begin{gather}
\rho(r)=\alpha r \tag{I}
\end{gather}
\]
no centro, onde
r = 0 temos
ρ = 0 (ponto em branco no centro da Figura 1), até a superfície da
esfera onde para
r =
R temos
ρ = α
R (superfície em cinza na Figura 1).
Para determinar o módulo do campo elétrico em todo o espaço devemos considerar os pontos no interior da
esfera, r ≤ R, e pontos no exterior da esfera, r > R, (Figura 2).
Consideramos uma superfície Gaussiana interna e outra superfície externa á esfera.
Solução:
Como a carga está distribuída pelo seu volume, existem cargas no seu interior (Figura 3), pela
Lei de Gauss
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\oint_A\mathbf E.d \mathbf A=\frac{q}{\epsilon_0}} \tag{II}
\end{gather}
\]
a Lei de Gauss nos diz que apenas a carga interna à superfície Gaussiana contribuí para o campo
elétrico
\[
\begin{gather}
\oint_A\mathbf E\cdot d \mathbf A=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV \tag{III}
\end{gather}
\]
onde ρ é a densidade volumétrica de cargas e a integração é feita sobre o volume limitado pela
superfície Gaussiana.
A superfície Gaussiana que passa pelo ponto onde se deseja calcular o campo elétrico tem um raio
rs, a distribuição de cargas interna à superfície Gaussiana tem um raio
rq, como o ponto onde se deseja calcular o campo elétrico está no interior da
distribuição de cargas esses raios coincidem rs = rq = r
(Figura 4).
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção
er, e em cada elemento de área dA da superfície, temos um vetor unitário
n perpendicular à superfície e orientado para fora. Assim em cada ponto da superfície o vetor
campo elétrico E e o vetor unitário n possuem a mesma direção e sentido (Figura 5).
O vetor campo elétrico só possui componente na direção er pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=E\;{\mathbf e}_r \tag{IV}
\end{gather}
\]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d \mathbf A=dA\;\mathbf n \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (IV) e (V) na equação (III)
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;{\mathbf e}_r\cdot dA\;\mathbf n=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV\\
\oint_AE\;dA\;\underbrace{{\mathbf e}_r\cdot \mathbf n}_1=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV
\end{gather}
\]
Observação: Como
er e
n são vetores unitários, seus módulos
são iguais a 1, e como ambos estão na mesma direção e sentido o ângulo entre eles é nulo (
θ = 0),
\( \mathbf e_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf e}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos0=1\times 1\times 1=1 \).
\[ \mathbf e_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf e}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos0=1\times 1\times 1=1 \]
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;dA=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV \tag{VI}
\end{gather}
\]
A integral do lado esquerdo da igualdade na equação (VI) refere-se a superfície Gaussiana e é feita
sobre todos os elementos de área dA (Figura 6-A), a integral do lado direito da igualdade refere-se
a distribuição de cargas interna à superfície Gaussiana e é feita sobre todos os elementos de volume
dV (Figura 6-B).
O elemento de área dA será
\[
\begin{gather}
dA=r_s\;d\theta\;r_s\operatorname{sen}\theta\;d\phi\\
dA=r_s^2\;\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi \tag{VII}
\end{gather}
\]
O elemento de volume dV será
\[
\begin{gather}
dV=r_q\;d\theta\;r_q\operatorname{sen}\theta\;d\phi\;dr_q\\
dV=r_q^2\operatorname{sen}\theta\;dr_q\;d\theta\;d\phi \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Fazendo r = rq, na equação (I) para a densidade de cargas dada do problema, e
substituindo as equações (VII) e (VIII) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
\int E\;r_s^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi=\frac{1}{\epsilon _{0}}\int\alpha r_qr_q^2\operatorname{sen}\theta\;dr_q\;d\theta\;d\phi \\
\int Er_s^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi=\frac{1}{\epsilon_0}\int\alpha r_q^3\operatorname{sen}\theta\;dr_q\;d\theta\;d\phi
\end{gather}
\]
Do lado esquerdo da igualdade a integral não depende do raio da superfície Gaussiana, assim E
e rs podem “sair” da integral e como não existem termos “cruzados” em θ e ϕ
as integrais podem ser separadas. Do lado direito da igualdade α é constate e pode “sair” da integral
e como não existem termos “cruzados” em rq, θ e ϕ as integrais podem ser
separadas.
\[
\begin{gather}
Er_s^2\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi=\frac{\alpha}{\epsilon_0}\int r_q^3\;dr_q\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi \tag{IX}
\end{gather}
\]
Do lado esquerdo da igualdade os limites de integração serão de 0 a π em dθ e de 0 e 2π
em dϕ (uma volta completa na esfera), conforme Figura 7-A, e temos rs = r,
lembrando da Figura 4 acima.
Do lado direito os limites de integração serão de 0 a π em dθ, de 0 e 2π em dϕ
(uma volta completa na esfera) e de 0 a r em drq (Figura 7-B)
\[
\begin{gather}
Er^2\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi=\frac{\alpha}{\epsilon_0}\int_0^{r}r_q^3\;dr_q\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\Rightarrow \left.-\cos\theta\;\right|_{\;0}^{\;\pi}\Rightarrow -(\cos \pi-\cos0)\Rightarrow -(-1-1)\Rightarrow -(-2)\Rightarrow 2
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{2\pi}\;d\phi \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{2\pi}\;d\phi=\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{r}r_q^3\;dr_q \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{r}r_q^3\;dr_q=\left.\frac{r_q^{3+1}}{3+1}\;\right|_{\;0}^{\;r}=\left.\frac{r_q^4}{4}\;\right|_{\;0}^{\;r}=\left(\frac{r^4}{4}-\frac{0^4}{4}\right)=\frac{r^4}{4}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Er^22\times 2\pi=\frac{\alpha}{\epsilon_0}\frac{r^4}{4}2\times 2\pi \\[5pt]
\cancel{4}\cancel{\pi} E\cancel{r^2}=\cancel{4}\cancel{\pi} \frac{\alpha}{\epsilon_0}\frac{{r^{\cancelto{2}{4}}}}{4}\\
E=\frac{\alpha}{\epsilon_0}\frac{r^2}{4} \tag{X}
\end{gather}
\]
Nesta situação a
superfície Gaussiana passando pelo ponto onde se deseja calcular o campo elétrico
tem um raio
rs =
r externo à distribuição de cargas e o raio da distribuição de
cargas será o próprio raio da esfera
rq =
R (Figura 8)
Para o cálculo do campo elétrico é válida a mesma equação obtida em (IX)
\[
Er_s^2\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi=\frac{\alpha}{\epsilon_0}\int r_q^3\;dr_q\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi
\]
Do lado esquerdo da igualdade os limites de integração serão os mesmos usados no caso anterior, apenas
lembrando que agora o ponto
r é externo à distribuição de cargas, de 0 a π em
dθ e de
0 e 2π em
dθ, e temos
rs =
r, lembrando da Figura 4 acima.
Do lado direito os limites de integração serão de 0 a π em
dθ, de 0 e 2π em
dϕ e de 0 a
R em
drq.
\[
\begin{gather}
Er^2\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi=\frac{\alpha}{\epsilon_0}\int_0^Rr_q^3\;dr_q\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^Rr_q^3\;dr_q \)
\[
\begin{gather}
\int_0^Rr_q^3\;dr_q=\left.\frac{r_q^{3+1}}{3+1}\;\right|_{\;0}^{\;R}=\left.\frac{r_q^4}{4}\;\right|_{\;0}^{\;R}=\left(\frac{R^4}{4}-\frac{0^4}{4}\right)=\frac{R^4}{4}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Er^22\times 2\pi=\frac{\alpha}{\epsilon_0}\frac{R^4}{4}2\times 2\pi \\[5pt]
4\pi Er^2=4\pi\frac{\alpha}{\epsilon_0}\frac{R^4}{4}\\
E=\frac{\alpha R^4}{4\epsilon_0r^2} \tag{XI}
\end{gather}
\]
A carga total da esfera de raio R para a densidade volumétrica de cargas dada no problema é
\[
\begin{gather}
Q=\int dq
\end{gather}
\]
o elemento de carga dq é dado por
\( \rho=\frac{dq}{dV}\Rightarrow dq=\rho\;dV \),
substituindo este valor na equação acima
\[
\begin{gather}
Q=\int\rho\;dV
\end{gather}
\]
substituindo a equação (I)
\[
\begin{gather}
Q=\int\alpha r dV
\end{gather}
\]
o elemento de volume dV será o mesmo da equação (VIII)
\[
\begin{gather}
Q=\int\alpha rr^2\operatorname{sen}\theta\;dr\;d\theta\;d\phi \\
Q=\int\alpha r^3\operatorname{sen}\theta\;dr\;d\theta\;d\phi
\end{gather}
\]
aqui vale o mesmo cálculo feito acima, constante pode “sair” da integral, as integrais podem ser separadas
e os limites de integração serão de 0 a π em dθ, de 0 e 2π em dϕ e de 0 a
R em dr
\[
\begin{gather}
Q=\alpha \int_0^Rr^3\;dr\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi \\[5pt]
Q=\alpha\frac{R^4}{4}\times 2\times 2\pi \\[5pt]
Q=\alpha \pi R^4 \\[5pt]
\alpha R^4=\frac{Q}{\pi} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (XII) na equação (XI)
\[
\begin{gather}
E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
a solução será dada pelas equações (X) e (XIII)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\left\{
\begin{matrix}
\;\dfrac{\alpha }{4\epsilon_0}r^2\;\text{,}\quad\;\; r\leqslant R\\
\;\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r^{\;2}}\;\text{,}\quad r>R
\end{matrix}
\right.}
\end{gather}
\]
Observação: O campo elétrico em todo o espaço é dado por uma função definida por partes.
Para
r ≤
R varia com o quadrado da distância de
r como uma
Função do 2.º Grau
\( y=ax^2+bx+c \),
onde
\( \underbrace{E}_y=\underbrace{\frac{\alpha}{4\epsilon_0}}_a\underbrace{r^2}_{x^2}+\underbrace{0}_b\underbrace{r}_x+\underbrace{0}_{c} \),
\[ \underbrace{E}_y=\underbrace{\frac{\alpha}{4\epsilon_0}}_a\underbrace{r^2}_{x^2}+\underbrace{0}_b\underbrace{r}_x+\underbrace{0}_{c} \]
como α e ε
0 são constantes, representam o coeficiente
a, como
b e
c
são nulos, a parábola passa pela origem, onde o campo elétrico é nulo
\( \left(\text{para }r=0\text{, temos, }E=\frac{\alpha}{4\epsilon_{\;0}}\times 0\Rightarrow E=0\right) \)
\[ \left(\text{para }r=0\text{, temos, }E=\frac{\alpha}{4\epsilon_{\;0}}\times 0\Rightarrow E=0\right) \]
.
O campo elétrico vai aumentando rapidamente até que na superfície se comporta como se toda a carga
Q estivesse
concentrada na origem e o campo fosse calculado a uma distância
R
\( \left(\text{para }r=R\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}\right) \)
\[ \left(\text{para }r=R\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}\right) \]
.
Para
r >
R o campo elétrico decai proporcionalmente a
\( \frac{1}{r^2} \)
como numa carga pontual.
