Exercício Resolvido de Lei de Gauss
publicidade
Determine o módulo do campo elétrico em todo o espaço gerado por uma esfera maciça carregada com uma carga Q distribuída uniformemente pelo seu volume.
Dados do problema:
- Carga da esfera: Q.
Esquema do problema:
Vamos assumir que a esfera está carrega com uma carga positiva (Q > 0) e seu raio é
igual a R.
Para determinar o módulo do campo elétrico em todo o espaço devemos considerar os pontos no interior da
esfera,
\( r\leqslant R \),
e pontos no exterior da esfera (r > R), conforme Figura 1.
Consideramos uma superfície Gaussiana interna e outra superfície externa á esfera.
Solução:
- Para \( r\;\leqslant \;R \):
Como a carga está distribuída pelo seu volume existem cargas no seu interior (Figura 2), pela
Lei de Gauss
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\oint_A{\mathbf E}\cdot d\mathbf A=\frac{q}{\epsilon_0}} \tag{I}
\end{gather}
\]
a Lei de Gauss nos diz que apenas a carga interna à superfície Gaussiana contribui para o campo elétrico
\[
\begin{gather}
\oint_A{\mathbf E}\cdot d\mathbf A=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV \tag{II}
\end{gather}
\]
onde ρ é a densidade volumétrica de cargas e a integração é feita sobre o volume limitado pela superfície Gaussiana.
A superfície Gaussiana que passa pelo ponto onde se deseja calcular o campo elétrico tem um raio
rs, a distribuição de cargas interna à superfície Gaussiana tem um raio
rq, como o ponto onde se deseja calcular o campo elétrico está no interior da
distribuição de cargas esses raios coincidem rs = rq = r
(Figura 3).
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção er, e em cada elemento de área dA, na superfície temos um vetor unitário n perpendicular à superfície e orientado para fora. Assim em cada ponto da superfície o vetor campo elétrico E e o vetor unitário n possuem a mesma direção e sentido (Figura 4).
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção er, e em cada elemento de área dA, na superfície temos um vetor unitário n perpendicular à superfície e orientado para fora. Assim em cada ponto da superfície o vetor campo elétrico E e o vetor unitário n possuem a mesma direção e sentido (Figura 4).
O vetor campo elétrico só possui componente na direção er pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=E\;{\mathbf e}_r \tag{III}
\end{gather}
\]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d\mathbf A=dA\;\mathbf n \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (II)
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;{\mathbf e}_r\cdot dA\;\mathbf n=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV \\[5pt]
\oint_AE\;dA\;\underbrace{{\mathbf e}_r\cdot\mathbf n}_1=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV
\end{gather}
\]
Observação: Como er e n são vetores unitários seus módulos
são iguais a 1 e como ambos estão na mesma direção e sentido o ângulo entre eles é nulo
(θ = 0),
\( {\mathbf e}_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf e}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos0=1\times 1\times 1=1 \text{.} \)
\[ {\mathbf e}_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf e}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos0=1\times 1\times 1=1 \text{.} \]
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;dA=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV \tag{V}
\end{gather}
\]
Em coordenadas esféricas as coordenadas x, y e z são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \\
y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \\
z=r\cos \theta
\end{array}
\right.\tag{VI}
\end{gather}
\]
Para obter o elemento de área em coordenadas esféricas calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[
\begin{gather}
J=\left[
\begin{matrix}
\;\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}\;\\
\;\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}\;\\
\;\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}\;
\end{matrix}
\right]
\end{gather}
\]
Cálculo das derivadas parciais das funções x, y e z dadas em (VI)
\( x=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi\times 1=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \),
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\cos \phi \),
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta(-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \),
\( y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\times 1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \),
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\operatorname{sen}\phi \),
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \),
\( z=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial r}=\cos \theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta\times 1=\cos \theta \),
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \),
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\( x=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi\times 1=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi\times 1=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e o seno e cosseno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\cos \phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta(-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta(-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\times 1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\times 1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e os termos em seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( z=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial r}=\cos \theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta\times 1=\cos \theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial r}=\cos \theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta\times 1=\cos \theta \]
na derivada em r o valor de θ é constante e o termo em cosseno sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \]
na derivada em θ o valor de r é constante e o termo em r sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\[
\begin{gather}
dA=J\,d\theta\,d\phi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dV=J\,dr\,d\theta\,d\phi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
J=\left[
\begin{matrix}
\;\operatorname{sen}\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \; \\
\;\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi & r\cos\theta\operatorname{sen}\phi & r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \;\\
\;\cos\theta &-r\operatorname{sen}\theta & 0 \;
\end{matrix}
\right]
\end{gather}
\]
desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus
\[
\begin{gather}
J=(\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(r\cos\theta\operatorname{sen}\phi)\times 0+(r\cos\theta\cos\phi)\times(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(\cos\theta)+ \qquad\qquad\qquad\quad \\
+ (-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times(\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times(-r\operatorname{sen}\theta)-(-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)(r\cos\theta\operatorname{sen}\phi)\times(\cos\theta)- \\
- (\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(-r\operatorname{sen}\theta)-(r\cos\theta\cos\phi)\times(\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times 0 \qquad\qquad\quad \\[5pt]
J=0+r^2\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\cos^2\phi+r^2\operatorname{sen}^{3}\theta\operatorname{sen}^2\phi+r^2\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}^2\phi+r^2\operatorname{sen}^{3}\theta\cos^2\phi-0 \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\cos^2\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta\operatorname{sen}^2\phi+\cos ^2\theta\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}^2\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta\cos^2\phi] \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\underbrace{(\cos^2\phi+\operatorname{sen}^2\phi)}_1+\operatorname{sen}^{3}\theta\underbrace{(\cos^2\phi+\operatorname{sen}^2\phi)}_1] \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}^2\theta\operatorname{sen}\theta] \\[5pt]
J=r^2[\underbrace{(\cos^2\theta +\operatorname{sen}^2\theta)}_1\operatorname{sen}\theta] \\[5pt]
J=r^2\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
Observação: Não há variação drs pois a superfície Gaussiana possui raio
constante igual à rs.
Para o elemento de área da superfície Gaussiana temos r = rs
\[
\begin{gather}
dA=r_s^2 \operatorname{sen} \theta\,d\theta\,d\phi \tag{VII}
\end{gather}
\]
Para o elemento de volume da distribuição de cargas temos r = rq
\[
\begin{gather}
dV=r_q^2 \operatorname{sen} \theta\,dr_q \,d\theta\,d\phi \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (VII) e (VIII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\int Er_s^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;r_q^2\operatorname{sen}\theta\;dr_q\;d\theta\;d\phi
\end{gather}
\]
Do lado esquerdo da igualdade a integral não depende do raio da superfície Gaussiana, assim E e rs podem “sair” da integral, e como não existem termos “cruzados” em θ e ϕ as integrais podem ser separadas. Do lado direito da igualdade a integral não depende da densidade volumétrica de cargas, assim ρ pode “sair” da integral, e como não existem termos “cruzados” em rq, θ e ϕ as integrais podem ser separadas.
\[
\begin{gather}
Er_s^2\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi=\frac{\rho}{\epsilon_0}\int r_q^2\;dr_q\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi \tag{IX}
\end{gather}
\]
Do lado esquerdo da igualdade os limites de integração serão de 0 a π em dθ e de 0 e 2π em dϕ (uma volta completa na base do hemisfério), conforme Figura 5-A, e temos rs = r, lembrando da Figura 3 acima.
Do lado direito os limites de integração serão de 0 a π em dθ, de 0 e 2π em dϕ (uma volta completa na base do hemisfério) e de 0 a r em drq (Figura 5-B).
\[
\begin{gather}
Er^2\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi=\frac{\rho}{\epsilon_0}\int_0^{r}r_q^2\;dr_q\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \)
\[
\begin{align}
\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta & =\left.-\cos\theta\;\right|_{\;0}^{\;\pi}= -(\cos\pi-\cos0)= \\
& =-(-1-1)=-(-2)=2
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{2\pi}\;d\phi \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{2\pi}\;d\phi=\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{r}r_q^2\;dr_q \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{r}r_q^2\;dr_q=\left.\frac{r_q^{2+1}}{2+1}\;\right|_{\;0}^{\;r}=\left.\frac{r_q^3}{3}\;\right|_{\;0}^{\;r}=\left(\frac{r^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)=\frac{r^3}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E\cancel{r^2}\cancel 2\times\cancel 2\cancel{\pi} =\frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{r^{\cancelto{1}{3}}}{3}\cancel 2\times\cancel 2\cancel{\pi} \\[5pt]
E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{r}{3} \tag{X}
\end{gather}
\]
A densidade volumétrica de cargas é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\rho=\frac{Q}{V}}
\end{gather}
\]
a carga total esta distribuída por uma esfera de volume igual a
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\frac{4}{3}\pi R^3}
\end{gather}
\]
então a densidade de cargas em função da carga total e do raio da distribuição pode ser escrita como
\[
\begin{gather}
\rho=\frac{Q}{\dfrac{4}{3}\pi R^3} \\[5pt]
\rho=\frac{3Q}{4\pi R^3} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (XI) na equação (X)
\[
\begin{gather}
E=\frac{1}{\epsilon_0}\frac{\cancel 3Q}{4\pi R^3}\frac{r}{\cancel 3} \\[5pt]
E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}r \tag{XII}
\end{gather}
\]
- Para r > R:
Nesta situação a superfície Gaussiana passando pelo ponto onde se deseja calcular o campo elétrico
tem um raio rs = r externo à distribuição de cargas e o raio da distribuição de
cargas será o próprio raio da esfera rq = R (Figura 6).
Para o cálculo do campo elétrico é válida a mesma equação obtida em (VIII).
Do lado esquerdo da igualdade os limites de integração serão os mesmos usados no caso anterior, apenas lembrando que agora o ponto r é externo à distribuição de cargas, de 0 a π em dθ e de 0 e 2π em dϕ, e temos rs = r, lembrando da Figura 3 acima.
Do lado direito os limites de integração serão de 0 a π em dθ, de 0 e 2π em dϕ e de 0 a R em drq.
Para o cálculo do campo elétrico é válida a mesma equação obtida em (VIII).
Do lado esquerdo da igualdade os limites de integração serão os mesmos usados no caso anterior, apenas lembrando que agora o ponto r é externo à distribuição de cargas, de 0 a π em dθ e de 0 e 2π em dϕ, e temos rs = r, lembrando da Figura 3 acima.
Do lado direito os limites de integração serão de 0 a π em dθ, de 0 e 2π em dϕ e de 0 a R em drq.
\[
\begin{gather}
Er^2\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi=\frac{\rho}{\epsilon_0}\int_0^Rr_q^2\;dr_q\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^Rr_q^2\;dr_q \)
\[
\begin{gather}
\int_0^Rr_q^2\;dr_q=\left.\frac{r_q^{\;2+1}}{2+1}\;\right|_{\;0}^{\;R}=\left.\frac{r_q^{\;3}}{3}\;\right|_{\;0}^{\;R}\;=\;\left(\;\frac{R^{\;3}}{3}-\frac{0^3}{3}\;\right)\;=\;\frac{R^{\;3}}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Er^2\cancel 2\times\cancel 2\cancel{\pi} =\frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{R^3}{3}\cancel 2\times\cancel 2\cancel{\pi} \\[5pt]
4\pi Er^2=4\pi\frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{R^3}{3} \\[5pt]
E=\frac{\rho}{\epsilon_0r^2}\frac{R^3}{3} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (XI) na equação (XIII)
\[
\begin{gather}
E=\frac{1}{\epsilon_0r^2}\frac{\cancel 3Q}{4\pi R^3}\frac{R^3}{\cancel 3} \\[5pt]
E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2} \tag{XIV}
\end{gather}
\]
Assim o campo elétrico em todo o espaço será dado pelas equações (XII) e (XIV)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{
E=
\begin{cases}
\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}r &, & r\leqslant R \\
\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r^{\;2}} &, & r\gt R
\end{cases}
}
\end{gather}
\]
Observação: O campo elétrico em todo o espaço é dado por uma função definida por
partes.
Para \( r\;\leqslant \;R \) varia linearmente com a distância r como uma Equação do 1.º Grau \( y=ax+b \), onde \( \underbrace{E}_y=\underbrace{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}}_a\underbrace{r}_x+\underbrace{0}_b \), como Q, π, &episilon;0 e R são constantes representam o coeficiente a, e como b = 0 na origem o campo elétrico é nulo \( \left(\text{para }r=0\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times 0\Rightarrow E=0\right) \text{.}\)
Para r > R o campo elétrico decai proporcionalmente a \( \frac{1}{r^2} \) como numa carga pontual.
Para \( r\;\leqslant \;R \) varia linearmente com a distância r como uma Equação do 1.º Grau \( y=ax+b \), onde \( \underbrace{E}_y=\underbrace{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}}_a\underbrace{r}_x+\underbrace{0}_b \), como Q, π, &episilon;0 e R são constantes representam o coeficiente a, e como b = 0 na origem o campo elétrico é nulo \( \left(\text{para }r=0\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times 0\Rightarrow E=0\right) \text{.}\)
\[ \left(\text{para }r=0\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times 0\Rightarrow E=0\right) \]
O campo elétrico vai aumentando linearmente até que na superfície se comporta como se toda a carga Q
estivesse concentrada na origem e o campo fosse calculado a uma distância R
\( \left(\text{para }r=R\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times R\Rightarrow E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}\right) \text{.}\)
\[ \left(\text{para }r=R\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times R\Rightarrow E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}\right) \]
Para r > R o campo elétrico decai proporcionalmente a \( \frac{1}{r^2} \) como numa carga pontual.
publicidade