Determine o módulo do campo elétrico em todo o espaço gerado por uma esfera maciça carregada com uma carga
Q distribuída uniformemente pelo seu volume.
Dados do problema:
Esquema do problema:
Vamos assumir que a esfera está carrega com uma carga positiva (Q > 0) e seu raio é
igual a R.
Para determinar o módulo do campo elétrico em todo o espaço devemos considerar os pontos no interior da
esfera,
\( r\leqslant R \),
e pontos no exterior da esfera (r > R), conforme Figura 1.
Consideramos uma superfície Gaussiana interna e outra superfície externa á esfera.
Solução:
- Para \( r\;\leqslant \;R \):
Como a carga está distribuída pelo seu volume existem cargas no seu interior (Figura 2), pela
Lei de Gauss
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\oint_A{\mathbf E}\cdot d\mathbf A=\frac{q}{\epsilon_0}} \tag{I}
\end{gather}
\]
a Lei de Gauss nos diz que apenas a carga interna à superfície Gaussiana contribui para o
campo elétrico
\[
\begin{gather}
\oint_A{\mathbf E}\cdot d\mathbf A=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV \tag{II}
\end{gather}
\]
onde ρ é a densidade volumétrica de cargas e a integração é feita sobre o volume limitado pela
superfície Gaussiana.
A superfície Gaussiana que passa pelo ponto onde se deseja calcular o campo elétrico tem um raio
rs, a distribuição de cargas interna à superfície Gaussiana tem um raio
rq, como o ponto onde se deseja calcular o campo elétrico está no interior da
distribuição de cargas esses raios coincidem rs = rq = r
(Figura 3).
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção
er, e em cada elemento de área dA, na superfície temos um vetor unitário
n perpendicular à superfície e orientado para fora. Assim em cada ponto da superfície o vetor
campo elétrico E e o vetor unitário n possuem a mesma direção e sentido (Figura 4).
O vetor campo elétrico só possui componente na direção er pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=E\;{\mathbf e}_r \tag{III}
\end{gather}
\]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d\mathbf A=dA\;\mathbf n \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (II)
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;{\mathbf e}_r\cdot dA\;\mathbf n=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV \\[5pt]
\oint_AE\;dA\;\underbrace{{\mathbf e}_r\cdot\mathbf n}_1=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV
\end{gather}
\]
Observação: Como
er e
n são vetores unitários seus módulos
são iguais a 1 e como ambos estão na mesma direção e sentido o ângulo entre eles é nulo
(
θ = 0),
\( {\mathbf e}_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf e}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos0=1\times 1\times 1=1 \text{.} \)
\[ {\mathbf e}_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf e}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\;\cos0=1\times 1\times 1=1 \]
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;dA=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;dV \tag{V}
\end{gather}
\]
A integral do lado esquerdo da igualdade na equação (V) refere-se a superfície Gaussiana e é feita
sobre todos os elementos de área dA (Figura 5-A), a integral do lado direito da igualdade refere-se
a distribuição de cargas interna à superfície Gaussiana e é feita sobre todos os elementos de volume
dV (Figura 5-B).
O elemento de área dA será
\[
\begin{gather}
dA=r_s\;d\theta\;r\operatorname{sen}\theta\;d\phi \\[5pt]
dA=r_s^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi \tag{VI}
\end{gather}
\]
O elemento de volume dV será
\[
\begin{gather}
dV=r_q\;d\theta\;r_q\operatorname{sen}\theta\;d\phi\;dr_q \\[5pt]
dV=r_q^2\operatorname{sen}\theta\;dr_q\;d\theta\;d\phi \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (VI) e (VII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\int Er_s^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho\;r_q^2\operatorname{sen}\theta\;dr_q\;d\theta\;d\phi
\end{gather}
\]
Do lado esquerdo da igualdade a integral não depende do raio da superfície Gaussiana, assim E
e rs podem “sair” da integral, e como não existem termos “cruzados” em θ
e ϕ as integrais podem ser separadas. Do lado direito da igualdade a integral não depende da
densidade volumétrica de cargas, assim ρ pode “sair” da integral, e como não existem termos
“cruzados” em rq, θ e ϕ as integrais podem ser separadas.
\[
\begin{gather}
Er_s^2\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi=\frac{\rho}{\epsilon_0}\int r_q^2\;dr_q\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Do lado esquerdo da igualdade os limites de integração serão de 0 a π em dθ e de 0 e 2π
em dϕ (uma volta completa na base do hemisfério), conforme Figura 6-A, e temos
rs = r, lembrando da Figura 3 acima.
Do lado direito os limites de integração serão de 0 a π em dθ, de 0 e 2π em
dϕ (uma volta completa na base do hemisfério) e de 0 a r em drq
(Figura 6-B).
\[
\begin{gather}
Er^2\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi=\frac{\rho}{\epsilon_0}\int_0^{r}r_q^2\;dr_q\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \)
\[
\begin{align}
\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta & =\left.-\cos \theta\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=-(\cos\pi-\cos0)= \\
& =-(-1-1)=-(-2)=2
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{2\pi}\;d\phi \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{2\pi}\;d\phi=\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{r}r_q^2\;dr_q \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{r}r_q^2\;dr_q=\left.\frac{r_q^{2+1}}{2+1}\;\right|_{\;0}^{\;r}=\left.\frac{r_q^3}{3}\;\right|_{\;0}^{\;r}=\left(\frac{r^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)=\frac{r^3}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E\cancel{r^2}\cancel 2\times\cancel 2\cancel{\pi} =\frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{r^{\cancelto{1}{3}}}{3}\cancel 2\times\cancel 2\cancel{\pi}\\
E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{r}{3} \tag{IX}
\end{gather}
\]
A densidade volumétrica de cargas é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\rho=\frac{Q}{V}}
\end{gather}
\]
a carga total esta distribuída por uma esfera de volume igual a
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\frac{4}{3}\pi R^3}
\end{gather}
\]
então a densidade de cargas em função da carga total e do raio da distribuição pode ser escrita como
\[
\begin{gather}
\rho=\frac{Q}{\dfrac{4}{3}\pi R^3} \\[5pt]
\rho=\frac{3Q}{4\pi R^3} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (X) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
E=\frac{1}{\epsilon_0}\frac{\cancel 3Q}{4\pi R^3}\frac{r}{\cancel 3}\\[5pt]
E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0R^3}r \tag{XI}
\end{gather}
\]
Nesta situação a superfície Gaussiana passando pelo ponto onde se deseja calcular o campo elétrico
tem um raio rs = r externo à distribuição de cargas e o raio da distribuição de
cargas será o próprio raio da esfera rq = R (Figura 7).
Para o cálculo do campo elétrico é válida a mesma equação obtida em (VIII).
Do lado esquerdo da igualdade os limites de integração serão os mesmos usados no caso anterior, apenas
lembrando que agora o ponto r é externo à distribuição de cargas, de 0 a π em
dθ e de 0 e 2π em dϕ, e temos rs = r, lembrando
da Figura 3 acima.
Do lado direito os limites de integração serão de 0 a π em dθ, de 0 e 2π em
dϕ e de 0 a R em drq.
\[
\begin{gather}
Er^2\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi=\frac{\rho}{\epsilon_0}\int_0^Rr_q^2\;dr_q\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{2\pi}d\phi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^Rr_q^2\;dr_q \)
\[
\begin{gather}
\int_0^Rr_q^2\;dr_q=\left.\frac{r_q^{\;2+1}}{2+1}\;\right|_{\;0}^{\;R}=\left.\frac{r_q^{\;3}}{3}\;\right|_{\;0}^{\;R}\;=\;\left(\;\frac{R^{\;3}}{3}-\frac{0^3}{3}\;\right)\;=\;\frac{R^{\;3}}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Er^2\cancel 2\times\cancel 2\cancel{\pi}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{R^3}{3}\cancel 2\times\cancel 2\cancel{\pi} \\[5pt]
4\pi Er^2=4\pi \frac{\rho}{\epsilon_0}\frac{R^3}{3} \\[5pt]
E=\frac{\rho}{\epsilon_0r^2}\frac{R^3}{3} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (X) na equação (XII)
\[
\begin{gather}
E=\frac{1}{\epsilon_0r^2}\frac{\cancel 3Q}{4\pi R^3}\frac{R^3}{\cancel 3} \\[5pt]
E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Assim o campo elétrico em todo o espaço será dado pelas equações (XI) e (XIII)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{
E=
\begin{cases}
\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}r &, & r\leqslant R\\
\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r^{\;2}} &, & r\gt R
\end{cases}
}
\end{gather}
\]
Observação: O campo elétrico em todo o espaço é dado por uma
função definida por
partes.
Para
\( r\;\leqslant \;R \)
varia linearmente com a distância
r como uma
Equação do 1.º Grau
\( y=ax+b \),
onde
\( \underbrace{E}_y=\underbrace{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}}_a\underbrace{r}_x+\underbrace{0}_b \),
como
Q, π, ϵ
0 e
R são constantes representam o coeficiente
a, e
como
b = 0 na origem o campo elétrico é nulo
\( \left(\text{para }r=0\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times 0\Rightarrow E=0\right) \text{.}\)
\[ \left(\text{para }r=0\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times 0\Rightarrow E=0\right) \]
O campo elétrico vai aumentando linearmente até que na superfície se comporta como se toda a carga
Q
estivesse concentrada na origem e o campo fosse calculado a uma distância
R
\( \left(\text{para }r=R\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times R\Rightarrow E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}\right) \text{.}\)
\[ \left(\text{para }r=R\text{, temos, }E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^3}\times R\Rightarrow E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}\right) \]
Para
r >
R o campo elétrico decai proporcionalmente a
\( \frac{1}{r^2} \)
como em uma carga puntiforme.
