Exercício Resolvido de Lei de Gauss
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Determine o módulo do campo elétrico de uma esfera condutora maciça, carregada com uma carga Q, em todo o espaço.
Dados do problema:
- Carga da esfera: Q.
Esquema do problema:
Vamos assumir que a esfera está carrega com uma carga positiva (Q > 0) e seu raio é igual
à R.
Para determinar o módulo do campo elétrico em todo o espaço devemos considerar os pontos no interior da
esfera,
\( r\leqslant R \),
e pontos no exterior da esfera, r > R (Figura 1).
Consideramos uma superfície Gaussiana interna e outra superfície externa á esfera.
Solução:
- Para \( r\leqslant R \):
\[
\begin{gather}
E=0 \tag{I}
\end{gather}
\]
- Para r > R:
A Lei de Gauss é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\oint_A{\mathbf E}\cdot d\mathbf A=\frac{q}{\epsilon_0}} \tag{II}
\end{gather}
\]
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção er, e em cada elemento de área dA da superfície temos um vetor unitário n perpendicular à superfície e orientado para fora. Assim em cada ponto da superfície o vetor campo elétrico E e o vetor unitário n possuem a mesma direção e sentido (Figura 3).
O vetor campo elétrico só possui componente na direção er pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=E\;{\mathbf e}_r \tag{III}
\end{gather}
\]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d\mathbf A=dA\;\mathbf n \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (II)
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;{\mathbf E}_r\cdot dA\;\mathbf n=\frac{q}{\epsilon_0} \\[5pt]
\oint_AE\;dA\;\underbrace{{\mathbf E}_r.\mathbf n}_1=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Observação: Como er e n são vetores unitário seus módulos são
iguais à 1, como ambos estão na mesma direção e sentido o ângulo entre eles é nulo (
- θ
\[ {\mathbf E}_r\cdot\mathbf n=|\;{\mathbf E}_r\;|\;|\;\mathbf n\;|\cos0=1\times 1\times 1=1 \]
\[
\begin{gather}
\oint_AE\;dA=\frac{q}{\epsilon_0} \tag{V}
\end{gather}
\]
Em coordenadas esféricas as coordenadas x, y e z são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \\
y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \\
z=r\cos \theta
\end{array}
\right. \tag{VI}
\end{gather}
\]
Para obter o elemento de área em coordenadas esféricas calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[
\begin{gather}
J=\left[
\begin{matrix}
\;\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial\theta}&\dfrac{\partial x}{\partial\phi}\; \\
\;\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial\theta}&\dfrac{\partial y}{\partial\phi}\; \\
\;\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial\theta}&\dfrac{\partial z}{\partial\phi}\;
\end{matrix}
\right]
\end{gather}
\]
Cálculo das derivadas parciais das funções x, y e z dadas em (VI)
\( x=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi\;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \),
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\cos \phi \),
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta(-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \),
\( y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \),
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\operatorname{sen}\phi \),
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \),
\( z=r\cos \theta\):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial r}=\cos \theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta.1=\cos \theta \),
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \),
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\( x=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi\;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi\;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta\cos \phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e o seno e cosseno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\cos \phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta(-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta(-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e os termos em seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\cos \phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( z=r\cos \theta\):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial r}=\cos \theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta.1=\cos \theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial r}=\cos \theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \]
na derivada em r o valor de θ é constante e o termo em cosseno sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \]
na derivada em θ o valor de r é constante e o termo em r sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\[
\begin{gather}
dA=J\;d\theta\;d\phi
\end{gather}
\]
Observação: Não há variação dr pois a superfície Gaussiana possui raio
constante igual a r.
\[
\begin{gather}
J=\left[
\begin{matrix}
\;\operatorname{sen}\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \; \\
\;\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi & r\cos\theta\operatorname{sen}\phi & r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \;\\
\;\cos\theta &-r\operatorname{sen}\theta & 0 \;
\end{matrix}
\right]
\end{gather}
\]
desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus
\[
\begin{gather}
J=(\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(r\cos\theta\operatorname{sen}\phi)\times 0+(r\cos\theta\cos\phi)\times(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(\cos\theta)+ \qquad\qquad\qquad\quad \\
+ (-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times(\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times(-r\operatorname{sen}\theta)-(-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)(r\cos\theta\operatorname{sen}\phi)\times(\cos\theta)- \\
- (\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(-r\operatorname{sen}\theta)-(r\cos\theta\cos\phi)\times(\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times 0 \qquad\qquad\quad \\[5pt]
J=0+r^2\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\cos^2\phi+r^2\operatorname{sen}^{3}\theta\operatorname{sen}^2\phi+r^2\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}^2\phi+r^2\operatorname{sen}^{3}\theta\cos^2\phi-0 \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\cos^2\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta\operatorname{sen}^2\phi+\cos ^2\theta\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}^2\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta\cos^2\phi] \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\underbrace{(\cos^2\phi+\operatorname{sen}^2\phi)}_1+\operatorname{sen}^{3}\theta\underbrace{(\cos^2\phi+\operatorname{sen}^2\phi)}_1] \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}^2\theta\operatorname{sen}\theta] \\[5pt]
J=r^2[\underbrace{(\cos^2\theta +\operatorname{sen}^2\theta)}_1\operatorname{sen}\theta] \\[5pt]
J=r^2\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dA=r^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi\tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\int_AEr^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi=\frac{q}{\epsilon_0} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Como o campo elétrico é uniforme e a integral não depende do raio eles podem “sair” da integral e como não
existem termos “cruzados” em θ e ϕ as integrais podem ser separadas
\[
\begin{gather}
Er^2\int\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão de 0 a π em dθ e de 0 e 2π em dϕ (uma volta completa na
base do hemisfério), conforme Figura 3-B
\[
\begin{gather}
Er^2\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_0^{{2\pi}}d\phi=\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\Rightarrow\left.-\cos\theta\;\right|_{\;0}^{\;\pi}\Rightarrow -(\cos \pi -\cos0)\Rightarrow -(-1-1)\Rightarrow -(-2)\Rightarrow 2
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{{2\pi}}\;d\phi \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{{2\pi}}\;d\phi=\left.\phi\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Er^2\times 2\times 2\pi =\frac{q}{\epsilon_0}
\end{gather}
\]
sendo q a carga total da distribuição temos, q = Q,
\[
\begin{gather}
E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2} \tag{IX}
\end{gather}
\]
a solução será dada pelas equações (I) e (IX)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{
E=
\begin{cases}
\;\;\quad 0 &, & r\leqslant R \\
\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0r^{\;2}} &, & r\gt R
\end{cases}
}
\end{gather}
\]
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