Exercício Resolvido de Lei de Gauss
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Determine o módulo do campo elétrico de uma esfera condutora maciça, carregada com uma carga Q, em todo o espaço.
Dados do problema:
- Carga da esfera: Q.
Vamos assumir que a esfera está carrega com uma carga positiva (Q > 0) e seu raio é igual à R.
Para determinar o módulo do campo elétrico em todo o espaço devemos considerar os pontos no interior da esfera, \( r\leqslant R \), e pontos no exterior da esfera, r > R (Figura 1).
Consideramos uma superfície Gaussiana interna e outra superfície externa á esfera.
Solução
- Para \( r\leqslant R \):
\[
\begin{gather}
E=0 \tag{I}
\end{gather}
\]
Figura 2
- Para r > R:
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\oint_{A}{\mathbf{E}}.d\mathbf{A}=\frac{q}{\epsilon_{0}}} \tag{II}
\end{gather}
\]
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção
er, e em cada elemento de área dA da superfície temos um vetor unitário
n perpendicular à superfície e orientado para fora. Assim em cada ponto da superfície o vetor campo
elétrico E e o vetor unitário n possuem a mesma direção e sentido (Figura 3).
O vetor campo elétrico só possui componente na direção er pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=E\;{\mathbf{e}}_{r} \tag{III}
\end{gather}
\]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d\mathbf{A}=dA\;\mathbf{n} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
\oint_{A}E\;{\mathbf{E}}_{r}.dA\;\mathbf{n}=\frac{q}{\epsilon_{0}}\\
\oint_{A}E\;dA\;\underbrace{{\mathbf{E}}_{r}.\mathbf{n}}_{1}=\frac{q}{\epsilon_{0}}
\end{gather}
\]
Observação: Como er e n são vetores unitário seus módulos são
iguais à 1, como ambos estão na mesma direção e sentido o ângulo entre eles é nulo (θ = 0),
\( {\mathbf{E}}_{r}.\mathbf{n}=|\;{\mathbf{E}}_{r}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos0=1.1.1=1 \).
\[ {\mathbf{E}}_{r}.\mathbf{n}=|\;{\mathbf{E}}_{r}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos0=1.1.1=1 \]
\[
\begin{gather}
\oint_{A}E\;dA=\frac{q}{\epsilon_{0}} \tag{V}
\end{gather}
\]
Em coordenadas esféricas as coordenadas x, y e z são dados por
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi\\
y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\\
z=r\cos \theta
\end{array}
\right. \tag{VI}
\]
Para obter o elemento de área em coordenadas esféricas calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[
J=\left|
\begin{matrix}
\;\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}\;\\
\;\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}\;\\
\;\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}\;
\end{matrix}
\right|
\]
Cálculo das derivadas parciais das funções x, y e z dadas em (VI)
\( x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \cos \phi \),
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\( y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \),
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\( z=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \),
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \),
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\( x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e o seno e cosseno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \cos \phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e os termos em seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( z=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \]
na derivada em r o valor de θ é constante e o termo em cosseno sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \]
na derivada em θ o valor de r é constante e o termo em r sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\[
dA=J\;d\theta \;d\phi
\]
Observação: Não há variação dr pois a superfície Gaussiana possui raio
constante igual a r.
\[
J=\left|
\begin{matrix}
\;\operatorname{sen}\theta \cos \phi & r\cos \theta \cos\phi & -r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \;\\
\;\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi & r\cos \theta \operatorname{sen}\phi & r\operatorname{sen}\theta \cos\phi \;\\
\;\cos \theta &-r\operatorname{sen}\theta &0\;
\end{matrix}
\right|
\]
desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus
\[
\begin{gather}
J=(\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(r\cos \theta\operatorname{sen}\phi).0+(r\cos \theta \cos \phi).(r\operatorname{sen}\theta \cos\phi).(\cos \theta)
\text{+} \qquad\qquad\qquad\quad\\
\text{+}(-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(-r\operatorname{sen}\theta)-(-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(r\cos \theta \operatorname{sen}\phi).(\cos \theta)
\text{--}\\
\text{--}
(\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(-r\operatorname{sen}\theta)-(r\cos \theta\cos \phi).(\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).0
\qquad\qquad\quad
\\{\,}\\
J=0+r^{2}\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \cos ^{2}\phi+r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +r^{2}\cos^{2}\theta\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta \cos^{2}\phi -0
\\{\,}\\
J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \cos ^{2}\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\cos ^{2}\theta\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\operatorname{sen}^{3}\theta \cos ^{2}\phi]
\\{\,}\\
J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \underbrace{(\cos^{2}\phi +\operatorname{sen}^{2}\phi)}_{1}+\operatorname{sen}^{3}\theta\underbrace{(\cos ^{2}\phi +\operatorname{sen}^{2}\phi)}_{1}]
\\{\,}\\
J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta \operatorname{sen}\theta ]
\\{\,}\\
J=r^{2}[\underbrace{(\cos^{2}\theta +\operatorname{sen}^{2}\theta)}_{1}\operatorname{sen}\theta]
\\{\,}\\
J=r^{2}\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dA=r^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
\int_{A}Er^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Como o campo elétrico é uniforme e a integral não depende do raio eles podem “sair” da integral e como não
existem termos “cruzados” em θ e ϕ as integrais podem ser separadas
\[
Er^{2}\int \operatorname{sen}\theta \;d\theta \int d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}}
\]
Os limites de integração serão de 0 a π em dθ e de 0 e 2π em dϕ (uma volta completa na
base do hemisfério), conforme Figura 3-B
\[
Er^{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \int_{0}^{{2\pi}}d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \)
\[
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \Rightarrow\left.-\cos \theta \;\right|_{\;0}^{\;\pi}\Rightarrow -(\cos \pi -\cos0)\Rightarrow -(-1-1)\Rightarrow -(-2)\Rightarrow 2
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi \)
\[
\int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi =\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\]
\[
Er^{2}.2.2\pi =\frac{q}{\epsilon_{0}}
\]
sendo q a carga total da distribuição temos, q = Q,
\[
\begin{gather}
E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}r^{2}} \tag{IX}
\end{gather}
\]
a solução será dada pelas expressões (I) e (IX)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{
E=
\begin{cases}
\;\;\quad 0 &, & r\leqslant R\\
\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_{0}r^{\;2}} &, & r\gt R
\end{cases}
}
\]
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