Exercício Resolvido de Lei de Gauss
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Determine o módulo do campo elétrico gerado por uma casca esférica, de raio R carregada com uma carga elétrica Q>0, em todo o espaço.
Dados do problema:
- Raio da casca esférica: R.
- Carga da casca esférica: Q.
Para determinar o módulo do campo elétrico em todo o espaço devemos considerar os pontos no interior da casca esférica, r ≤ R, e pontos no exterior da casca esférica, r > R, (Figura 1).
Consideramos uma Superfície Gaussiana interna e outra superfície externa à casca esférica.
Solução
- Para r ≤ R:
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{E=0}
\]
- Para r > R:
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\oint_{A}{\mathbf{E}}.d\mathbf{A}=\frac{q}{\epsilon_{0}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção
er, e em cada elemento de área dA da superfície temos um vetor unitário
n perpendicular à superfície e orientado para fora. Assim em cada ponto da superfície o vetor campo
elétrico E e o vetor unitário n possuem a mesma direção e sentido (Figura 2).
O vetor campo elétrico só possui componente na direção er, pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=E{\;\mathbf{e}}_{r} \tag{II}
\end{gather}
\]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d\mathbf{A}=dA\;\mathbf{n} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
\oint_{A}E\;{\mathbf{e}}_{r}.dA\;\mathbf{n}=\frac{q}{\epsilon_{0}}\\
\oint_{A}E\;dA\;\underbrace{{\mathbf{e}}_{r}.\mathbf{n}}_{1}=\frac{q}{\epsilon_{0}}
\end{gather}
\]
Observação: Como er e n são vetores unitários seus módulos são
iguais a 1, e como ambos estão na mesma direção e sentido o ângulo entre eles é nulo θ=0,
\( {\mathbf{e}}_{r}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{e}_{r}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\;\cos 0=1.1.1=1 \)
\[ {\mathbf{e}}_{r}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{e}_{r}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\;\cos 0=1.1.1=1 \]
.
\[
\begin{gather}
\oint _{A}E\;dA=\frac{q}{\epsilon_{0}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Convertendo de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianass x, y e z são
dados por
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi\\
y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\\
z=r\cos \theta
\end{array}
\right. \tag{V}
\]
Para obter o elemento de área calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[
J=\left|
\begin{matrix}
\;\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}\;\\
\;\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}\;\\
\;\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}\;
\end{matrix}
\right|
\]
Cálculo das derivadas parciais das funções x, y e z dadas em (V)
\( x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \cos \phi \),
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\( y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \),
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\( z=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \),
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \),
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\( x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e o seno e cosseno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \cos \phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e os termos em seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( z=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \]
na derivada em r o valor de θ é constante e o termo em cosseno sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \]
na derivada em θ o valor de r é constante e o termo em r sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\[
dA=J\;d\theta \;d\phi
\]
Observação: Não há variação dr pois a superfície Gaussiana possui raio
constante igual a r.
\[
J=\left|
\begin{matrix}
\;\operatorname{sen}\theta \cos \phi & r\cos \theta \cos\phi & -r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \;\\
\;\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi & r\cos \theta \operatorname{sen}\phi & r\operatorname{sen}\theta \cos\phi \;\\
\;\cos \theta &-r\operatorname{sen}\theta &0\;
\end{matrix}
\right|
\]
desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus
\[
\begin{gather}
J=(\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(r\cos \theta\operatorname{sen}\phi).0+(r\cos \theta \cos \phi).(r\operatorname{sen}\theta \cos\phi).(\cos \theta)
\text{+} \qquad\qquad\qquad\quad\\
\text{+}(-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(-r\operatorname{sen}\theta)-(-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(r\cos \theta \operatorname{sen}\phi).(\cos \theta)
\text{--}\\
\text{--}
(\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(-r\operatorname{sen}\theta)-(r\cos \theta\cos \phi).(\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).0
\qquad\qquad\quad
\\{\,}\\
J=0+r^{2}\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \cos ^{2}\phi+r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +r^{2}\cos^{2}\theta\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta \cos^{2}\phi -0
\\{\,}\\
J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \cos ^{2}\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\cos ^{2}\theta\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\operatorname{sen}^{3}\theta \cos ^{2}\phi]
\\{\,}\\
J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \underbrace{(\cos^{2}\phi +\operatorname{sen}^{2}\phi)}_{1}+\operatorname{sen}^{3}\theta\underbrace{(\cos ^{2}\phi +\operatorname{sen}^{2}\phi)}_{1}]
\\{\,}\\
J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta \operatorname{sen}\theta ]
\\{\,}\\
J=r^{2}[\underbrace{(\cos^{2}\theta +\operatorname{sen}^{2}\theta)}_{1}\operatorname{sen}\theta]
\\{\,}\\
J=r^{2}\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dA=r^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\int_{A}Er^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Como o campo elétrico é uniforme e a integral não depende do raio eles podem “sair” da integral e as
integrais podem ser separadas
\[
Er^{2}\int \operatorname{sen}\theta \;d\theta \int d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}}
\]
Os limites de integração serão de 0 a π em dθ e de 0 e 2π em dϕ uma
volta completa na base do hemisfério), (Figura 3-B)
\[
Er^{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \int_{0}^{{2\pi}}d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}}
\]
Integração de \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \)
\[
\begin{split}
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta &\Rightarrow \left.-\cos\theta \;\right|_{\;0}^{\;\pi }\Rightarrow -(\cos \pi -\cos0)\Rightarrow\\
&\Rightarrow -(-1-1)\Rightarrow -(-2)= 2
\end{split}
\]
Integração de \( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\;d\phi \)
\[
\int_{0}^{2\pi}\;d\phi =\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\]
\[
Er^{2}.2.2\pi =\frac{q}{\epsilon_{0}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{q}{4\pi \epsilon_{0}r^{2}}}
\]
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