Exercício Resolvido de Lei de Gauss
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Calcule o fluxo elétrico através de um hemisfério de raio a imerso num campo elétrico de intensidade
E.
Dados do problema:
- Raio do hemisfério: a;
- Intensidade do campo elétrico: E.
Solução:
O fluxo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Phi_{\small E}=\int_A{\mathbf E}.d\mathbf A} \tag{I}
\end{gather}
\]
Adotamos um sistema de referência com o eixo-z na direção e sentido do vetor campo elétrico e os eixos
x e y na base do hemisfério, então o vetor campo elétrico pode ser escrito como
O vetor elemento de área é dado por
\[
\begin{gather}
\mathbf E=E\;\mathbf k \tag{II}
\end{gather}
\]
onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z
respectivamente.O vetor elemento de área é dado por
\[
\begin{gather}
d\mathbf A=dA\;\mathbf n \tag{III}
\end{gather}
\]
onde n é o vetor unitário na direção perpendicular à superfície hemisférica.
Observação: A base ijk foi desenhada com o vetor na direção y no sentido para
baixo de modo que o sistema de eixos seja dextrogiro, ou seja obedeça à Regra da Mão Direita.
Substituindo as equações (II) e (III) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\Phi_{\small E}=\int_AE\;\mathbf k.dA\;\mathbf n \\[5pt]
\Phi_{\small E}=\int_AEdA\underbrace{\;\mathbf k.\;\mathbf n}_1
\end{gather}
\]
Observação: Como k e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e o
ângulo entre eles é θ. O vetor k tem sua direção e sentido fixos no referencial, mas
o vetor n é normal à superfície hemisférica em cada ponto, variando de θ = 0, no ponto
central do hemisfério onde a direção e sentido de n e E coincidem, até
\( \theta=\frac{\pi}{2} \),
na borda da superfície onde n é perpendicular a E (Figura 2).
Figura 2
O produto escalar entre eles será.
\[
\begin{gather}
\mathbf k\cdot\mathbf n=|\;\mathbf k\;|\;|\;\mathbf n\;|\cos\theta=1\times 1\times\cos\theta=\cos\theta
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Phi_{\small E}=\int_AE\cos\theta\;dA \tag{IV}
\end{gather}
\]
Em coordenadas esféricas as coordenadas x, y e z são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\operatorname{sen}\theta\cos\phi\\
y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \\
z=r\cos\theta
\end{array}
\right. \tag{V}
\end{gather}
\]
Para obter o elemento de área em coordenadas esféricas calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[
\begin{gather}
J=\left[
\begin{matrix}
\;\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}\; \\
\;\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}\; \\
\;\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}\;
\end{matrix}
\right] \tag{V}
\end{gather}
\]
Cálculo das derivadas parciais das funções x, y e z dadas em (V)
\( x=r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos\phi .1=\operatorname{sen}\theta\cos\phi \text{, }\)
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \theta}=r\cos\phi\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta\;)}{\partial \theta}=r\cos\theta\cos\phi \text{, } \)
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\( y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi.1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos\theta\operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \text{, } \)
\( z=r\cos\theta\):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos\theta)}{\partial r}=\cos\theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos\theta .1=\cos\theta\text{, } \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos\theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta\text{, } \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \phi }=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\( x=r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos\phi .1=\operatorname{sen}\theta\cos\phi \text{, }\)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\cos\phi .1=\operatorname{sen}\theta\cos\phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes, o seno e cosseno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \theta}=r\cos\phi\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta\;)}{\partial \theta}=r\cos\theta\cos\phi \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \theta}=r\cos\phi\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta\;)}{\partial \theta}=r\cos\theta\cos\phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da
derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da
derivada.
\( y=r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi.1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi.1=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e os termos em seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos\theta\operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\[ \frac{\partial y}{\partial \theta}=\frac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \frac{\partial (\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos\theta\operatorname{sen}\phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da
derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \phi }=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( z=r\cos\theta\):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos\theta)}{\partial r}=\cos\theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos\theta .1=\cos\theta\text{, } \)
\[ \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos\theta)}{\partial r}=\cos\theta\dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos\theta .1=\cos\theta\]
na derivada em r o valor de θ é constante e o termo em cosseno sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos\theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta\text{, } \)
\[ \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos\theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta\]
na derivada em θ o valor de r é constante e o termo em r sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \phi }=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\[
\begin{gather}
dA=J\;d\theta\;d\phi
\end{gather}
\]
Observação: Não há variação dr pois o corpo é uma casca hemisférica de raio constante igual
a a.
\[
\begin{gather}
J=\left[
\begin{matrix}
\operatorname{sen}\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi\;\\
\;\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi & r\cos\theta\operatorname{sen}\phi & r\operatorname{sen}\theta\cos\phi \;\\
\;\cos\theta & -r\operatorname{sen}\theta & 0\;
\end{matrix}
\right]
\end{gather}
\]
desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus
\[
\begin{gather}
J=(\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(r\cos\theta\operatorname{sen}\phi)\times 0+(r\cos\theta\cos\phi)\times(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(\cos\theta)+ \\
\qquad +(-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times(\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times(-r\operatorname{sen}\theta)-(-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times(r\cos\theta\operatorname{sen}\phi)\times(\cos\theta)- \\
-(\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(r\operatorname{sen}\theta\cos\phi)\times(-r\operatorname{sen}\theta)-(r\cos\theta\cos\phi)\times(\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)\times 0 \qquad\quad\; \\[5pt]
J=0+r^2\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\cos^2\phi+r^2\operatorname{sen}^{3}\theta\operatorname{sen}^2\phi+r^2\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}^2\phi +r^2\operatorname{sen}^{3}\theta\cos^2\phi-0 \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\cos^2\phi +\operatorname{sen}^{3}\theta\operatorname{sen}^2\phi +\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}^2\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta\cos^2\phi] \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta\underbrace{(\cos^2\phi+\operatorname{sen}^2\phi)}_1+\operatorname{sen}^{3}\theta\underbrace{(\cos^2\phi +\operatorname{sen}^2\phi)}_1] \\[5pt]
J=r^2[\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}^2\theta\operatorname{sen}\theta] \\[5pt]
J=r^2[\underbrace{(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta)}_{1}\operatorname{sen}\theta] \\[5pt]
J=r^2\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dA=r^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
\Phi_{\small E}=\iint E\cos\theta r^2\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi \\[5pt]
\Phi_{\small E}=\iint Er^2\cos\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;d\phi
\end{gather}
\]
Como o campo elétrico é uniforme e a integral não depende do raio eles podem “sair” da integral e como não existem termos “cruzados” em θ e ϕ as integrais podem ser separadas
\[
\begin{gather}
\Phi_{\small E}=Er^2\int \cos\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int d\phi
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão de 0 a
\( \frac{\pi}{2} \)
em dq e de 0 e 2π em dϕ (uma volta completa na base do hemisfério)
\[
\begin{gather}
\Phi_{\small E}=Er^2\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}\cos\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\int_{0}^{{2\pi}}d\phi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}\cos\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\)
fazendo a mudança de variável
para θ = 0
temos \( u=\operatorname{sen}0=0 \)
para \( \theta=\dfrac{\pi}{2} \)
temos \( u=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}=1 \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\operatorname{sen}\theta \\
du=\cos\theta\;d\theta\Rightarrow d\theta=\dfrac{du}{\cos\theta}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para θ = 0
temos \( u=\operatorname{sen}0=0 \)
para \( \theta=\dfrac{\pi}{2} \)
temos \( u=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}=1 \)
\[
\begin{align}
\int_0^1\cancel{\cos\theta}\;u\;\frac{du}{\cancel{\cos\theta}} & \Rightarrow\int_0^1u\;du\Rightarrow\left.\frac{u^{\;2}}{2}\;\right|_{\;0}^{\;1}\Rightarrow \\
& \Rightarrow\frac{1^{\;2}}{2}-\frac{0^{\;2}}{2}\;\Rightarrow\;\frac{1}{2}
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{2\pi}\;d\phi=\left.\phi\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Phi_{\small E}=Er^2\frac{1}{\cancel 2}\cancel 2\pi
\end{gather}
\]
para r = a
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Phi_{\small E}=\pi a^2E}
\end{gather}
\]
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