Obtenha as equações de onda para o campo elétrico e para o campo magnético a partir das
Equações de Maxwell.
Solução:
As Equações de Maxwell na forma diferencial são
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\epsilon_0} \\[5pt]
\nabla\cdot\mathbf B=0 \\[5pt]
\nabla\times{\mathbf E}=-{\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}} \\[5pt]
\nabla\times{\mathbf B}=\mu_0\mathbf i+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}
\end{gather} }
\]
onde
\( \nabla \)
é o operador nabla, que em coordenadas cartesianas vale
\( \nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x}\mathbf i+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf j+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf k\right) \).
Considerando uma região do espaço onde não existam cargas livres, ρ=0, e correntes elétricas,
i=0, as Equações de Maxwell tomam a seguinte forma
\[
\begin{gather}
\nabla\cdot\mathbf E=0 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\nabla\cdot\mathbf B=0 \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\nabla\times{\mathbf E}=\frac{-{\partial\mathbf B}}{\partial t} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\nabla\times{\mathbf B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Aplicando o rotacional
(\( \nabla\times\text{} \))
a ambos os lados da equação (III)
\[
\begin{gather}
\nabla\times\nabla\times{\mathbf E}=\nabla\times\left(-{\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}}\right) \tag{V}
\end{gather}
\]
Do lado esquerdo da igualdade aplicamos a seguinte identidade dos operadores vetoriais
\( \nabla \times \text{}\nabla \times \text{}=\nabla\nabla.\text{}-\nabla ^2\text{} \),
“o rotacional do rotacional é igual ao gradiente do divergente menos o laplaciano”, onde o operador
lapaciano é dado por
\( \nabla ^2=\left(\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \)
\[
\begin{gather}
\nabla\times\nabla\times{\mathbf E}=\nabla\underbrace{\nabla\cdot\mathbf E}_0-\nabla^2\mathbf E
\end{gather}
\]
usando a equação (I), o divergente do campo elétrico é nulo, e a equação fica igual a
\[
\begin{gather}
\nabla\times\nabla\times{\mathbf E}=-\nabla^2\mathbf E \tag{VI}
\end{gather}
\]
Do lado direito da igualdade (V) o operador laplaciano depende de variáveis espaciais
(x, y e z) e a derivada parcial depende de uma variável temporal (t), elas são
independes e podemos trocar a ordem dos operadores
\[
\begin{gather}
\nabla\times\left(-{\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}}\right)=-{\frac{\partial}{\partial t}}\left(\nabla \times{\mathbf B}\right)
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação acima
\[
\begin{gather}
\nabla\times\left(-{\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}}\right)=-{\frac{\partial}{\partial t}}\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\right) \\[5pt]
\nabla\times\left(-{\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}}\right)=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2} \qquad \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (VI) e (VII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
-\nabla^2\mathbf E=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}
\end{gather}
\]
sendo
\( \mu_0\epsilon_0=\frac{1}{c^2} \),
onde c é a velocidade da luz no vácuo.
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\nabla ^2\mathbf E=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}}
\end{gather}
\]
Aplicando o rotacional
(\( \nabla \times \text{} \))
a ambos os lados da equação (IV)
\[
\begin{gather}
\nabla\times\nabla\times{\mathbf B}=\nabla\times\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\right) \tag{VII}
\end{gather}
\]
Do lado esquerdo da igualdade aplicamos a mesma identidade dos operadores vetoriais usada anteriormente
\[
\begin{gather}
\nabla\times\nabla\times{\mathbf B}=\nabla\underbrace{\nabla\cdot\mathbf B}_0-\nabla^2\mathbf B
\end{gather}
\]
usando a equação (II) o divergente do campo de indução magnética é nulo e a equação fica igual a
\[
\begin{gather}
\nabla\times\nabla\times{\mathbf B}=-\nabla^2\mathbf B \tag{IX}
\end{gather}
\]
Do lado direito da igualdade (VIII) podemos trocar a ordem dos operadores
\[
\begin{gather}
\nabla\times\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\right)=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \times{\mathbf E}\right)
\end{gather}
\]
substituindo a equação (III) na equação acima
\[
\begin{gather}
\nabla\times\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\right)=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right) \\[5pt]
\nabla\times\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\right)=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2} \tag{X}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (IX) e (X) na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
-\nabla^2\mathbf B=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}
\end{gather}
\]
substituindo a velocidade da luz no vácuo.
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\nabla^2\mathbf B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}}
\end{gather}
\]