Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Uma casca hemisférica de raio a está carregada uniformemente com uma carga Q. Calcule o
vetor campo elétrico num ponto P no centro da base do hemisfério.
Dados do problema:
- Raio da casca hemisférica: a;
- Carga da casca hemisférica: Q.
O vetor posição r vai de um elemento de carga do aro dq até o ponto P onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga em relação à origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P (Figura 1).
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{p}-\mathbf{r}_{q}
\end{gather}
\]
Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas esféricas, o ponto P está origem e sua distância é nula \( \mathbf{r}_{p}=\mathbf{0} \), e o vetor rq coincide com o vetor r é escrito como \( \mathbf{r}_{q}=x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \), então o vetor posição será
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}=\mathbf{0}-(x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k})\\[5pt]
\mathbf{r}=-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}-z\;\mathbf{k} \tag{I}
\end{gather}
\]
Da expressão (I) o módulo do vetor posição r será
\[
\begin{gather}
r^{2}=(-x)^{2}+(-y)^{2}+(-z)^{2}\\[5pt]
r=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde x, y e z, em coordenadas esféricas, são dados por
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\operatorname{sen}\theta \cos \phi \\[5pt]
y=a\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \\[5pt]
z=a\cos \theta
\end{array}
\right. \tag{III}
\]
Solução
O vetor campo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{2}}\;\frac{\mathbf{r}}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{3}}\;\mathbf{r}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Da expressão da densidade superficial de carga σ obtemos o elemento de carga dq
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sigma =\frac{dq}{dA}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\sigma \;dA \tag{V}
\end{gather}
\]
onde dA é um elemento de área da esfera (Figura 2)
\[
\begin{gather}
dA=r\;d\theta r\operatorname{sen}\theta \;d\phi\\[5pt]
dA=r^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
dq=\sigma r^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo a expressão (VII) na expressão (IV), e como a integração é feita sobre a superfície do
hemisfério, depende de duas variáveis θ e ϕ, temos uma integral dupla
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\iint {\frac{\sigma r^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta\;d\phi}{r^{3}}}\;\mathbf{r}\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint {\frac{\sigma \operatorname{sen}\theta\;d\theta \;d\phi}{r}}\;\mathbf{r} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I) e (II) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\iint{\frac{\sigma \operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}-z\;\mathbf{k}\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões de (III) na expressão (IX)
\[
\begin{align}
& \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\iint {\frac{\sigma \operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi}{\left[\left(a\operatorname{sen}\theta \cos \phi\right)^{2}+\left(a\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\right)^{2}+\left(a\cos \theta\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}}\;\times \\
& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times \;\left(-a\operatorname{sen}\theta \cos \phi\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \;\mathbf{j}-a\cos \theta\;\mathbf{k}\right)\\[10pt]
& \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint {\frac{\sigma \operatorname{sen}\theta\;d\theta \;d\phi}{\left[a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta \cos^{2}\phi +a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi+a^{2}\cos ^{2}\theta \right]^{\frac{1}{2}}}}\;\times \\
& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times \;\left(-a\operatorname{sen}\theta \cos \phi\;\mathbf{i}-a\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \;\mathbf{j}-a\cos \theta\;\mathbf{k}\right)\\[10pt]
& \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint {\frac{-a\sigma \operatorname{sen}\theta\;d\theta \;d\phi}{a\left[\operatorname{sen}^{2}\theta \cos ^{2}\phi+\operatorname{sen}^{2}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\cos^{2}\theta \right]^{\frac{1}{2}}}}\;\times \\
& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times \;\left(\operatorname{sen}\theta \cos\phi \;\mathbf{i}+\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \;\mathbf{j}+\cos \theta\;\mathbf{k}\right)\\[10pt]
& \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint {\frac{-\sigma \operatorname{sen}\theta\;d\theta \;d\phi}{\left[\operatorname{sen}^{2}\theta \cos ^{2}\phi+\operatorname{sen}^{2}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\cos^{2}\theta \right]^{\frac{1}{2}}}}\;\times \\
& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times \;\left(\operatorname{sen}\theta \cos\phi \;\mathbf{i}+\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \;\mathbf{j}+\cos \theta\;\mathbf{k}\right)\\[10pt]
& \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint {\frac{-\sigma \operatorname{sen}\theta\;d\theta \;d\phi}{\left[\operatorname{sen}^{2}\theta\underbrace{\left(\cos ^{2}\phi +\operatorname{sen}^{2}\phi\right)}_{1}+\cos ^{2}\theta\right]^{\frac{1}{2}}}}\;\times \\
& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times \;\left(\operatorname{sen}\theta \cos \phi\;\mathbf{i}+\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \;\mathbf{j}+\cos \theta\;\mathbf{k}\right)\\[10pt]
& \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint {\frac{-\sigma \operatorname{sen}\theta\;d\theta \;d\phi}{\left[\underbrace{\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos ^{2}\theta}_{1}\right]^{\frac{1}{2}}}}\left(\operatorname{sen}\theta \cos \phi\;\mathbf{i}+\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \;\mathbf{j}+\cos \theta\;\mathbf{k}\right)\\[10pt]
& \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint {\frac{-\sigma \operatorname{sen}\theta\;d\theta \;d\phi}{1^{\frac{1}{2}}}}\left(\operatorname{sen}\theta\cos \phi \;\mathbf{i}+\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \;\mathbf{j}+\cos \theta\;\mathbf{k}\right)\\[10pt]
& \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint {-\sigma \operatorname{sen}\theta \;d\theta\;d\phi}\left(\operatorname{sen}\theta \cos \phi\;\mathbf{i}+\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi;\mathbf{j}+\cos \theta\;\mathbf{k}\right)
\end{align}
\]
A densidade de carga σ é constante ela pode “sair” da integral, e a integral da soma igual à soma das
integrais
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=-\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\iint {\operatorname{sen}^{2}\theta \cos \phi\;d\theta \;d\phi\;\mathbf{i}}+\iint{\operatorname{sen}^{2}\theta \operatorname{sen}\phi \;d\theta \;d\phi\;\mathbf{j}}+\iint {\operatorname{sen}\theta \;\cos \theta \;d\theta \;d\phi\;\mathbf{k}}\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão de 0 e 2π em dϕ, uma volta completa na base do hemisfério, e
de 0 a
\( \frac{\pi}{2} \)
em dθ (Figura 3), como não existem termos “cruzados“ em ϕ e
θ as integrais podem ser separadas.
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=-\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}{\operatorname{sen}^{2}\theta\;d\theta }\underbrace{\int_{0}^{{2\pi}}{\cos \phi \;d\phi}}_{0}\;\mathbf{i}+\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}{\operatorname{sen}^{2}\theta \;d\theta \underbrace{\int_{0}^{{2\pi}}{\operatorname{sen}\phi \;d\phi}}_{0}\;\mathbf{j}}\right.\text{+}\\
\qquad \qquad \text{+}\left.\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}{\operatorname{sen}\theta \cos \theta \;d\theta}\int_{0}^{{2\pi}}{d\phi\;\mathbf{k}}\right)
\end{gather}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\cos \phi \;d\phi \)
1.º método
Figura 4
1.º método
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{2\pi}}\cos \phi \;d\phi &=\left.\operatorname{sen}\phi\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0=\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico de cosseno entre 0 e 2π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e entre \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre \( \frac{\pi}{2} \) e \( \frac{3\pi}{2} \), estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral igual à zero (Figura 4).
O gráfico de cosseno entre 0 e 2π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e entre \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre \( \frac{\pi}{2} \) e \( \frac{3\pi}{2} \), estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral igual à zero (Figura 4).
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\phi \;d\phi \)
1.º método
Figura 5
Figura 6
1.º método
\[
\begin{align}
\int_{0}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\phi \;d\phi &=\left.-\cos \phi\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=-(\cos 2\pi-\cos 0)=\\
&=-(1-1)=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico do seno entre 0 e 2π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre π e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 5).
O gráfico do seno entre 0 e 2π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre π e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 5).
Observação: As duas integrais, nas direções i e j, que são nulas
representam o cálculo matemático para a afirmação que se faz usualmente de que as componentes do campo
elétrico paralelas ao plano-xy, dEP, se anulam. Apenas as
componentes normais ao plano, dEN, contribuem para o campo elétrico
total (Figura 6).
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}\theta \cos \theta\;d\theta \)
fazendo a mudança de variável
para θ = 0
temos \( u=\operatorname{sen}0\Rightarrow u=0 \)
para \( \theta =\dfrac{\pi}{2} \)
temos \( u=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=1 \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\operatorname{sen}\theta \\[5pt]
\dfrac{du}{d\theta }=\cos \theta \Rightarrow d\theta=\dfrac{du}{\cos \theta}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para θ = 0
temos \( u=\operatorname{sen}0\Rightarrow u=0 \)
para \( \theta =\dfrac{\pi}{2} \)
temos \( u=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=1 \)
\[
\begin{align}
\int_{0}^{1}u\cos \theta \frac{du}{\cos \theta} &=\int_{0}^{1}u\;du=\left.\frac{u^{2}}{2}\;\right|_{0}^{1}=\\[5pt]
&=\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}
\end{align}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi \)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi=\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=-\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_{0}}\left[0\;\mathbf{i}-0\;\mathbf{j}+\frac{1}{2}.2\pi\;\mathbf{k}\right]\\[5pt]
\mathbf{E}=-\frac{\sigma}{4\epsilon_{0}}\;\mathbf{k} \tag{X}
\end{gather}
\]
A densidade superficial de carga é dada por
\[
\begin{gather}
\sigma=\frac{Q}{A} \tag{XI}
\end{gather}
\]
onde Q é a carga do hemisfério e A a sua área. A área de um hemisfério é
metade da área de uma esfera,
\( A_{E}=4\pi r^{2} \)
com r = a
\[
\begin{gather}
A=\frac{A_{E}}{2}\\[5pt]
A=\frac{4\pi a^{2}}{2}\\[5pt]
A=2\pi a^{2} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XII) na expressão (XI) e esta na expressão (X) (Figura 4)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=-{\frac{1}{4\epsilon_{0}}}\frac{Q}{2\pi a^{2}}\;\mathbf{k}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=-{\frac{Q}{8\epsilon_{0}\pi a^{2}}}\;\mathbf{k}}
\end{gather}
\]
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