Um aro de raio a está carregado com uma carga cuja densidade varia diretamente com a posição
angular. Entre os pontos 0 e 2π, há uma membrana muito fina de material isolante separando esses
dois pontos. Calcule o vetor campo elétrico em um ponto P sobre o eixo de simetria perpendicular
ao plano do aro a uma distância z do seu centro.
Dados do problema:
- Raio do aro: a;
- Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
Esquema do problema:
A densidade linear de carga do aro é diretamente proporcional à posição angular da carga (Figura 1).
\[
\begin{gather}
\lambda(\theta)=\alpha\theta \tag{I}
\end{gather}
\]
onde
α é uma constante que torna a equação dimensionalmente consistente. Os pontos zero e
2π representam o mesmo ponto do aro, isto quer dizer que há duas densidades de carga diferentes para o
mesmo ponto. Para resolver esta inconsistência, o problema nos diz que há uma membrana isolante muito
fina, assim fisicamente os dois pontos com cargas diferentes estão separados e matematicamente podemos
fazer a integração de 0 a 2π.
O vetor posição r vai de um elemento de carga do aro dq até o ponto P, onde se deseja
calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga em relação à
origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P (Figura 2-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf r={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cilíndricas (Figura 2-B). O vetor
rq, que está no plano xy, é escrito como
\( {\mathbf r}_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \),
e o vetor rp só possui componente na direção k,
\( {\mathbf r}_p=z\;\mathbf k \),
o vetor posição será
\[
\begin{gather}
\mathbf r=z\;\mathbf k-\left(x\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right) \\[5pt]
\mathbf r=-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \tag{II}
\end{gather}
\]
Da equação (II) o módulo do vetor posição r será
\[
\begin{gather}
r^2=(-x)^2+(-y)^2+z^2 \\[5pt]
r=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
onde x, y e z, em coordenadas cilíndricas, são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos\theta \\
y=a\operatorname{sen}\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{IV}
\end{gather}
\]
Solução:
O vetor campo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^3}\;\mathbf r} \tag{V}
\end{gather}
\]
Da equação da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda(\theta)=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda(\theta)\;ds \tag{VI}
\end{gather}
\]
onde ds é um elemento de arco de ângulo dθ do aro (Figura 3).
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (I) e (VII) na equação (VI).
\[
\begin{gather}
dq=\alpha\theta a\;d\theta \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (II), (III) e (VIII) na equação (V).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]^3}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as equações de (IV) na equação (IX).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[\left(a\cos\theta\right)^2+\left(a\operatorname{sen}\theta\right)^2+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[a^2\cos^2\theta+a^2\operatorname{sen}^2\theta+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left[a^2\underbrace{\left(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\right)}_1+z^2\;\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\alpha\theta a\;d\theta}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\cos\theta\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
A constante de proporcionalidade α e o raio a são constantes, eles podem “sair” da
integral, e a integral da soma igual à soma das integrais.
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\theta\cos\theta\;d\theta\;\mathbf i-a\int\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;\mathbf j+z\int\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão 0 e 2π (uma volta completa no aro).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta\;\mathbf i-a\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;\mathbf j+z\int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta\)
Usando
Integração por Partes
\( \int uv'=uv-\int u'v \),
escolhemos
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\cos\theta \\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=\operatorname{sen}\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\left(-\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\theta\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi} \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\left(2\pi\times\operatorname{sen}2\pi-0\times\operatorname{sen}0\right)+\left(\cos 2\pi-\cos 0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=\left(2\pi\times 0-0\times 0\right)+\left(1-1\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\cos\theta\;d\theta=0
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta\)
Usando
Integração por Partes
\( \int uv'=uv-\int u'v \),
escolhemos
\[
\begin{align}
u=\theta\qquad \qquad & v'=\operatorname{sen}\theta \\[5pt]
u'=1\qquad \qquad & v=-\cos\theta
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}-\int_{0}^{2\pi}-\cos\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\;d\theta \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\theta\cos\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi}+\operatorname{sen}\theta\;|_{\;0}^{\;2\pi} \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\left(2\pi\times\cos 2\pi-0\times\cos 0\right)+\left(\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\left(2\pi\times 1-0\times 1\right)+\left(0-0\right) \\[5pt]
\int_{0}^{2\pi}\theta\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-2\pi
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta\)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\theta\;d\theta=\left.\frac{\theta^2}{2}\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\frac{(2\pi)^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{4\pi^2}{2}-0=2\pi^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[-a\times 0\;\mathbf i-a(-2\pi)\;\mathbf j+z\;(2\pi^2)\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2\pi a\;\mathbf j+2\pi^2z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{2\epsilon_0}\frac{\alpha a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
DE
EN
ES
FR
IT
