Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
Português
English
publicidade
Duas cargas iguais de mesmo sinal estão separadas por uma distância 2d. Calcule o vetor do campo elétrico nos pontos ao longo da reta que une as duas cargas. Verifique a solução para pontos muito afastados das cargas.
Esquema do problema:
O vetor r localiza o ponto P, onde queremos calcular o campo elétrico em relação à origem, e é escrito como \( \mathbf r=x\;\mathbf i \). O vetor r1 vai da origem até a carga +q (à esquerda na Figura 1), é dado por, \( \mathbf r_1=-d\;\mathbf i \). O vetor r−r1 vai carga até o ponto P, é dado por \( \mathbf r-\mathbf r_1=x\;\mathbf i-\left(-d\;\mathbf i\right)=\left(x+d\right)\;\mathbf i \).
O vetor r é o mesmo da situação anterior. O vetor r2 vai da origem até a segunda carga +q, e é dado por \( \mathbf r_2=d\mathbf i \). O vetor r−r2 vai da carga até o ponto P, e é dado por \( \mathbf r-\mathbf r_2=\left(x-d\right)\;\mathbf i \), (Figura 2).
Solução
O vetor do campo elétrico de um sistema discreto de cargas é calculado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\sum_{i=1}^{n}\;\frac{q_i}{\left|\mathbf r-\mathbf r_i\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_i}{\left|\mathbf r-\mathbf r_i\right|}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_ 0}\left\{\frac{q_1}{\left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_1}{\left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|}+\frac{q_2}{\left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_2}{\left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|}\right\}
\end{gather}
\]
Os denominadores da equação acima são escritos como
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|=\sqrt{\left(x+d\right)^2\;}=x+d \),
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|^2=\left(x+d\right)^2 \),
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|=\sqrt{\left(x-d\right)^2\;}=x-d \)
e
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|^2=\left(x-d\right)^2 \)
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left\{\frac{q}{\left(x+d\right)^2}\;\frac{\cancel{\left(x+d\right)}\;\mathbf i}{\cancel{\left(x+d\right)}}+\frac{q}{\left(x-d\right)^2}\;\frac{\cancel{\left(x-d\right)}\;\mathbf i}{\cancel{\left(x-d\right)}}\right\}\\[5pt]
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{1}{\left(x+d\right)^2}+\frac{1}{\left(x-d\right)^2}\right\}\;\mathbf i\\[5pt]
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{\left(x-d\right)^2+\left(x+d\right)^2}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\right\}\;\mathbf i\\[5pt]
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{x^2-2xd+d^2+x^2+2xd+d^2}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\right\}\;\mathbf i\\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q\left(x^2+d^2\right)}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{2\pi \epsilon_0}\frac{q\left(x^2+d^2\right)}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\;\mathbf i}
\end{gather}
\]
Observação: Em um problema unidimensional a solução vetorial é igual à solução escalar.
Para pontos muito afastados do centro temos, y≫d, podemos desprezar os termos em d no denominador e o termo em d2 no numerador e a solução será
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{2\pi \epsilon_0}\frac{q\cancel{x^2}}{x^\cancelto{2}{4}}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{2\pi \epsilon_0}\frac{q}{x^2}\;\mathbf i}
\end{gather}
\]
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .