Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Determine o vetor campo elétrico de um dipolo nos pontos ao longo da linha reta que une as duas cargas do dipolo. Verifique a solução para pontos muito afastados do centro do dipolo.


Esquema do problema:

O vetor r localiza o ponto P, onde queremos calcular o campo elétrico em relação à origem e é escrito como   \( \mathbf{r}=x\;\mathbf{i} \).   O vetor r1 vai da origem até a carga −q, é dado por   \( \mathbf{r}_{1}=-d\;\mathbf{i} \).   O vetor r−r1 vai da carga até o ponto P, é dado por   \( \mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}=x\;\mathbf{i}-(-d\;\mathbf{i})=(x+d)\;\mathbf{i} \),   (Figura 1).

Figura 1

O vetor r é o mesmo da situação anterior. O vetor r2 vai da origem até a carga +q, e é dado por   \( \mathbf{r}_{2}=d\;\mathbf{i} \).   O vetor r−r2 vai da carga até o ponto P, e é dado por   \( \mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}=(x-d)\;\mathbf{i} \),   (Figura 2).

Figura 2

Solução

O vetor do campo elétrico de um sistema discreto de cargas é calculado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\;\sum_{i=1}^{n}\;\frac{q_{i}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}\right|^{2}}\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}\right|}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\left\{\frac{q_{1}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|^{2}}\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|}+\frac{q_{2}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|^{2}}\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|}\right\} \end{gather} \]
Os denominadores da equação acima são escritos como   \( \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|=\sqrt{(x+d)^{2}\;}=x+d \),   \( \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|^{2}=(x+d)^{2} \),   \( \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|=\sqrt{(x-d)^{2}\;}=x-d \)   e   \( \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|^{2}=(x-d)^{2} \).
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\left\{\frac{-q}{\left(x+d\right)^{\cancelto{2}{3}}}\;\cancel{\left(x+d\right)}\;\mathbf{i}+\frac{q}{\left(x-d\right)^{\cancelto{2}{3}}}\;\cancel{\left(x-d\right)}\;\mathbf{i}\right\}\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{\frac{-1}{\left(x+d\right)^{2}}+\frac{1}{\left(x-d\right)^{2}}\right\}\;\mathbf{i}\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{\frac{-\left(x-d\right)^{2}+\left(x+d\right)^{2}}{\left(x+d\right)^{2}\left(x-d\right)^{2}}\right\}\;\mathbf{i}\\{}\\ \mathbf{E}=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{\frac{-\left(x^{2}-2xd+d^{2}\right)+x^{2}+2xd+d^{2}}{\left(x+d\right)^{2}\left(x-d\right)^{2}}\right\}\;\mathbf{i}\\[5pt] \mathbf{\text{E}}=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{\frac{-x^{2}+2xd-d^{2}+x^{2}+2xd+d^{2}}{\left(x+d\right)^{2}\left(x-d\right)^{2}}\right\}\;\mathbf{i}\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{4qxd}{\left(x+d\right)^{2}\left(x-d\right)^{2}}\;\mathbf{i} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{E}=\frac{1}{\pi \epsilon_{0}}\frac{qxd}{\left(x+d\right)^{2}\left(x-d\right)^{2}}\;\mathbf{i}} \end{gather} \]

Observação 1: Em um problema unidimensional a solução vetorial é igual à solução escalar.

Observação 2: O momento de dipolo p é dado pelo produto da carga pela distância entre elas, no resultado acima temos em módulo
\[ \begin{gather} p=q\times (2d) \end{gather} \]
a solução é escrita como
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{2\pi \epsilon_{0}}\frac{px}{\left(x+d\right)^{2}\left(x-d\right)^{2}}\;\mathbf{i} \end{gather} \]

Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, x≫d, podemos desprezar o termo em d2 no denominador e a solução será
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{\pi \epsilon_{0}}\frac{q\cancel{x}d}{x^{\cancelto{3}{4}}}\;\mathbf{i} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{E}=\frac{1}{\pi \epsilon_{0}}\frac{qd}{x^{3}}\;\mathbf{i}} \end{gather} \]

Observação: Usando o momento de dipolo a solução é escrita como
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{2\pi \epsilon_{0}}\frac{p}{x^{3}}\;\mathbf{i} \end{gather} \]
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