Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Uma espira quadrada de lado a está carregada uniformemente com uma carga Q. Determinar o
vetor campo elétrico nos pontos situados sobre a reta perpendicular ao plano da espira a uma distância
z do seu centro.
Dados do problema:
- Comprimento do lado da espira: a;
- Distância ao ponto P: z;
- Carga da espira: Q.
Vamos calcular o campo elétrico produzido por um segmento da espira que passa pelo ponto \( y=\frac{a}{2} \) e é paralelo ao eixo-x.
O vetor posição r vai de um elemento de carga dq da espira até o ponto P onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga dq em relação à origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P (Figura1-A)
\[
\mathbf{r}={\mathbf{r}}_{p}-{\mathbf{r}}_{q}
\]
O vetor rq é escrito como \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp só possui componente na direção k, é escrito como \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \) (Figura 1-B), o vetor posição será
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}=z\;\mathbf{k}-(x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j})\\
\mathbf{r}=-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\\
\mathbf{r}=-x\;\mathbf{i}-\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \tag{I}
\end{gather}
\]
Da expressão (I) o módulo do vetor posição r será
\[
\begin{gather}
r^{2}=x^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+z^{2}\\
r=\left[x^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+z^{2}\right]^{\;1/2}\\
r=\left(x^{2}+z^{2}+\frac{a^{2}}{4}\right)^{\;1/2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Observação: Quando o vetor rq varia de
\( \frac{a}{2} \)
até
\( -{\frac{a}{2}} \),
(r1, r2, r3,...,
rn), a componente de rq na direção i varia
em módulo (x1, x2, x3,..., xn),
mas a componente na direção j é constante
\( \left(y=\frac{a}{2}\right) \).
Essa componente vai da origem até o fio sobre o eixo-y (Figura 2).
Solução
O vetor campo elétrico é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{2}}\;\frac{\mathbf{\text{r}}}{r}}}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{3}}\;\mathbf{r}} \tag{III}
\end{gather}
\]
Da expressão da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda =\frac{dq}{ds}}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda \;ds \tag{IV}
\end{gather}
\]
onde ds é um elemento de comprimento do fio
\[
\begin{gather}
ds=dx \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
dq=\lambda \;dx \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I), (II) e (VI) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda\;dx}{\left[\left(x^{2}+z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)^{\;1/2}\right]^{3}}}\left(-x\;\mathbf{i}-\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda\;dx}{\left(x^{2}+z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)^{\;3/2}}}\left(-x\;\mathbf{i}-\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right) \tag{VII}
\end{gather}
\]
Como a densidade de carga λ é constante, a integral depende apenas de x, ela pode “sair” da
integral
\[
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dx}{\left(x^{2}+z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)^{\;3/2}}}\left(-x\;\mathbf{i}-\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
A integral será feita sobre todos os elementos de comprimento dx de
\( -{\frac{a}{2}} \)
até
\( \frac{a}{2} \)
(Figura 2)
\[
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{\left(x^{2}+z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)^{\;3/2}}}\left(-x\;\mathbf{i}-\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
Usando o Teorema de Pitágoras, obtemos a distância h do fio ao ponto P (Figura 3)
\[
h^{2}=z^{2}+\frac{a^{2}}{4}
\]
\[
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{\left(x^{2}+h^{2}\right)^{\;3/2}}}\left(-x\;\mathbf{i}-\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
colocando h2 em evidência no denominador e multiplicando e dividindo a expressão por
h
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{\left[h^{2}\left(\frac{x^{2}}{h^{2}}+1\right)\right]^{\;3/2}}}\left(-x\;\mathbf{i}-\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right).\frac{h}{h}\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{\left(h^{2}\right)^{3/2}\left[1+\left(\frac{x}{h}\right)^{2}\right]^{\;3/2}}}h\left(-{\frac{x}{h}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{h^{3}\left[1+\left(\frac{x}{h}\right)^{2}\right]^{\;3/2}}}h\left(-{\frac{x}{h}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{h^{2}\left[1+\left(\frac{x}{h}\right)^{2}\right]^{\;3/2}}}\left(-{\frac{x}{h}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{\text{k}}\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Considerando o ângulo θ medido entre h e a distância r do elemento de carga
dq ao ponto P, a tangente deste ângulo será (Figura 4)
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta =\frac{x}{h} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{h^{2}\left[1+\left(\operatorname{tg}\theta\right)^{2}\right]^{\;3/2}}}\left(-{\operatorname{tg}\theta}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{h^{2}\left[1+\operatorname{tg}^{2}\theta\right]^{\;3/2}}}\left(-{\operatorname{tg}\theta}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{\text{k}}\right) \tag{X}
\end{gather}
\]
A partir da expressão (IX) obtemos o elemento de comprimento dx em relação ao elemento de arco
dθ fazendo a mudança de variável
\[
x=h\operatorname{tg}\theta
\]
Derivada de
\( x=h\operatorname{tg}\theta \)
\[
\frac{dx}{d\theta}=h\frac{d}{d\theta}\left(\operatorname{tg}\theta \right)
\]
reescrevendo
\( \operatorname{tg}\theta=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta} \),
temos a derivada de um quociente de funções dada pela fórmula
\[
\left(\frac{u}{v}\right)^{\Large '}=\frac{u'v-u\;v'}{v^{2}}
\]
\[
\begin{align}
\frac{d}{d\theta}\left(\operatorname{tg}\theta \right)=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}\right) &=\frac{\cos\theta \cos \theta-\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\theta)}{(\cos \theta)^{2}}=\\
&=\frac{\cos ^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta}{\cos ^{2}\theta}=\frac{1}{\cos^{2}\theta}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{d\theta}=h\frac{1}{\cos ^{2}\theta}
\end{gather}
\]
Observação: Via de regra os livros de
Cálculo Integral e Diferencial apresentam a derivada da tangente na forma
\( \left(\operatorname{tg}\theta \right)^{'}=\operatorname{sec}^{2}\theta \),
onde
\( \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos \theta} \),
mas aqui por razões de simplificações posteriores vamos deixar a derivada na
forma mostrada acima.
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{d\theta}=h\frac{1}{\cos ^{2}\theta} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo a tangente por
\( \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta} \)
e a expressão (XI) na expressão(X)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{1}{h^{2}\left[1+\left(\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}\right)^{2}\right]^{\;3/2}}}h\;\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}\left(-{\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{1}{h\left[1+\left(\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\right)^{2}\right]^{\;3/2}}}\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta }\left(-{\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Os extremos de integração para a variável θ são −θm, o valor máximo
medido no sentido anti-horário, quando x vale
\( \frac{a}{2} \)
e θm, o valor máximo medido no sentido horário, quando x vale
\( -{\frac{a}{2}} \)
(Figura 5).
Observação: Na Figura 5 pode parecer incoerente que para o lado medindo
\( \frac{a}{2} \)
o ângulo seja −θm e para
\( -{\frac{a}{2}} \)
o ângulo seja θm. Isto acontece devido à convenção de sinais, os ângulos são
medidos a partir da linha h, no sentido horário temos um ângulo positivo e no sentido anti-horário
um ângulo negativo.
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\frac{1}{h\left(1+\dfrac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\right)^{\;3/2}}}\frac{d\theta}{\cos ^{2}\theta}\left(-{\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\frac{1}{h\left(\dfrac{\cos ^{2}+\operatorname{sen}^{2}\theta}{\cos ^{2}\theta}\right)^{\;3/2}}}\frac{d\theta}{\cos ^{2}\theta}\left(-{\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{\text{E}}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\frac{1}{h\dfrac{1}{\left(\cos ^{2}\theta\right)^{\;3/2}}}}\frac{d\theta}{\cos ^{2}\theta}\left(-{\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\frac{1}{h\dfrac{1}{\cos ^{\cancel{3}}\theta }}}\frac{d\theta}{\cancel{\cos^{2}}\theta}\left(-{\frac{\operatorname{sen}\theta }{\cos \theta}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\frac{1}{h\dfrac{1}{\cos \theta }}}d\theta\left(-{\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2k}\;\mathbf{j}+\frac{z}{k}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon _{0}}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\frac{\cos\theta}{h}}d\theta \left(-{\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}}\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Como h, a e z são constantes, a integral depende só de θ, eles podem “sair” da
integral e sendo a integral da soma igual à soma das integrais
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}h}\left(-\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos\theta}\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta}\;d\theta\;\mathbf{i}-\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos\theta }\frac{a}{2h}\;d\theta \;\mathbf{j}+\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos \theta}\frac{z}{h}\;d\theta\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}h}\left(\underbrace{-\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\operatorname{sen}\theta}\;d\theta\;\mathbf{i}}_{0}-\frac{a}{2h}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos \theta}\;d\theta\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos \theta}\;d\theta\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Integração de \( \displaystyle \int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}\cos \theta \;d\theta \)
1.º método
Como a função cosseno é uma função par, f(x) = f(−x), podemos integrar sobre metade do intervalo (de 0 à θm) e multiplicar a integral por 2
Podemos integrar sobre todo intervalo (de −θm à θm)
1.º método
Como a função cosseno é uma função par, f(x) = f(−x), podemos integrar sobre metade do intervalo (de 0 à θm) e multiplicar a integral por 2
\[
2\int_{0}^{{\theta_{m}}}\cos \theta \;d\theta=2\left.\operatorname{sen}\theta \right|_{\;0}^{\;\theta_{m}}=2(\operatorname{sen}\theta_{m}-\operatorname{sen}0)=2(\operatorname{sen}\theta_{m}-0)=2\operatorname{sen}\theta_{m}
\]
2.º método
Podemos integrar sobre todo intervalo (de −θm à θm)
\[
\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}\cos \theta \;d\theta=\left.\operatorname{sen}\theta \;\right|_{\;-\theta_{m}}^{\;\theta_{m}}=\operatorname{sen}\theta_{m}-\operatorname{sen}(-\theta_{m})
\]
Como seno é uma função ímpar, f(−x) = −f(x), temos
\( \operatorname{sen}(-\theta_{m})=-\operatorname{sen}(\theta_{m}) \)
\[
\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}\cos \theta \;d\theta=\operatorname{sen}\theta _{m}-(-\operatorname{sen}\theta_{m})=\operatorname{sen}\theta_{m}+\operatorname{sen}(\theta_{m})=2\operatorname{sen}\theta_{m}
\]
Integração de \( \displaystyle \int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \)
1.º método
Figura 6
1.º método
\[
\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta=-\left.\cos \theta \;\right|_{\;-\theta_{m}}^{\;\theta_{m}}=-\left[\cos \theta_{m}-\cos (-\theta_{m})\right]
\]
como cosseno é uma função par, f(x) = f(−x), temos
\( \cos (\theta_{m})=\cos (-\theta_{m}) \)
\[
\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta=-(\cos \theta_{m}-\cos \theta_{m})=0
\]
2.º método
O gráfico do seno entre −θm e 0 possui uma área “negativa” abaixo do
eixo-x, e entre 0 e θm uma área “positiva” acima do eixo-x estas
duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral igual à zero na direção
i.
Observação: A integral na direção i, sendo nula, representa o cálculo matemático
para a afirmação que se faz usualmente de que as componentes do campo elétrico paralelas ao
eixo-x (E i e −E i) se anulam. Apenas as componentes nas
direções j e k (−E j e E k) contribuem para o campo
elétrico total (Figura 6).
\[
\begin{gather}
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}h}\left(-0\;\mathbf{i}-\frac{a}{2h}2\operatorname{sen}\theta_{m}\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}2\operatorname{sen}\theta_{m}\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}h^{2}}2\operatorname{sen}\theta_{m}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}h^{2}}\operatorname{sen}\theta_{m}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right) \tag{XII}
\end{gather}
\]
O seno de θm pode ser obtido da Figura 7
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\theta_{m}=\frac{\frac{a}{2}}{r}\\[5pt]
\operatorname{sen}\theta_{m}=\frac{a}{2r} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
A hipotenusa r é dada pelo Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
r^{2}=h^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\\r^{2}=h^{2}+\frac{a^{2}}{4}\\
r=\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}\;} \tag{XIV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XIV) na expressão (XIII)
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\theta_{m}=\frac{a}{2\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}\;}} \tag{XV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XV) na expressão (XII) e o valor de h2
\[
\begin{gather}
{\mathbf{\text{E}}}_{1}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}h^{2}}\frac{a}{2\sqrt{h^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\;}}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}\;}}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
O vetor campo elétrico E1 tem componentes nas direções j e k (Figura 8)
\[
{\mathbf{E}}_{1}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
Por simetria os outros segmentos do fio produzirão campos semelhantes em diferentes direções (Figura 9-A).
\[
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
\[
{\mathbf{E}}_{3}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{i}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
\[
{\mathbf{E}}_{4}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{i}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
O vetor campo elétrico total será a dado pela soma dos vetores campo elétrico produzidos pelos quatro lados
(Figura 9-B)
\[
\begin{split}
\mathbf{E} &=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)+\\[5pt]
&+\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)+\\[5pt]
&+\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{i}+z\;\mathbf{k}\right)+\\[5pt]
&+\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}\left(z^{2}+\frac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\frac{a^{2}}{2}\;}}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{i}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E} &=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\times{}\\[5pt]
&\times\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)+\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)+\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{i}+z\;\mathbf{k}\right)+\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{i}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E} &=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\times{}\\[5pt]
&\times\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}+\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}-\frac{a}{2}\;\mathbf{i}+z\;\mathbf{k}+\frac{a}{2}\;\mathbf{i}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E} &=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}4z\;\mathbf{k}
\end{split}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{4\lambda az}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\;\mathbf{k}}
\]
Observação: Os cálculos que levam às expressões para os vetores campo elétrico
E2, E3 e E4 são da seguinte forma:
Figura 10
As integrais serão
Figura 11
As integrais serão
Figura 12
As integrais serão
Campo elétrico produzido por um segmento da espira que passa pelo ponto
\( y=-{\frac{a}{2}} \)
e é paralelo ao eixo-x (Figura 10).
O vetor rq será \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp será \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \).
O vetor r será \( \mathbf{r}=-x\;\mathbf{i}+\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \).
O campo elétrico será
O vetor rq será \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp será \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \).
O vetor r será \( \mathbf{r}=-x\;\mathbf{i}+\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \).
O campo elétrico será
\[
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dx}{\left(x^{2}+z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)^{\;3/2}}}\left(-x\;\mathbf{i}+\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
\[
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}h}\left(\underbrace{-\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\operatorname{sen}\theta}\;d\theta\;\mathbf{i}}_{0}+\frac{a}{2h}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos \theta}\;d\theta\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos \theta }\;d\theta \;\mathbf{k}\right)
\]
Depois da integração
\[
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}h^{2}}\operatorname{sen}\theta_{m}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
Após os mesmos cálculos para a determinação do sen θm
\[
{\mathbf{E}}_{2}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
Campo elétrico produzido por um segmento da espira que passa pelo ponto
\( x=\frac{a}{2} \)
e é paralelo ao eixo-x (Figura 11).
O vetor rq será \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp será \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \).
O vetor r será \( \mathbf{r}=-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \).
O campo elétrico será
O vetor rq será \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp será \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \).
O vetor r será \( \mathbf{r}=-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \).
O campo elétrico será
\[
{\mathbf{E}}_{3}=\frac{\lambda }{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dy}{\left(y^{2}+z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)^{\;3/2}}}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
\[
{\mathbf{E}}_{3}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}h}\left(-{\frac{a}{2h}}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos\theta}\;d\theta \;\mathbf{i}\underbrace{+\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\operatorname{sen}\theta}\;d\theta}_{0}+\;\mathbf{j}+\frac{z}{h}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos \theta}\;d\theta\;\mathbf{k}\right)
\]
Depois da integração
\[
{\mathbf{E}}_{3}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}h^{2}}\operatorname{sen}\theta_{m}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
Após os mesmos cálculos para a determinação do sen θm
\[
{\mathbf{E}}_{3}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(-{\frac{a}{2}}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
Campo elétrico produzido por um segmento da espira que passa pelo ponto
\( x=-{\frac{a}{2}} \)
e é paralelo ao eixo-x (Figura 12).
O vetor rq será \( {\mathbf{r}}_{q}=-x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp será \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \).
O vetor r será \( \mathbf{r}=\frac{a}{2}\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \).
O campo elétrico será
O vetor rq será \( {\mathbf{r}}_{q}=-x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \) e o vetor rp será \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \).
O vetor r será \( \mathbf{r}=\frac{a}{2}\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \).
O campo elétrico será
\[
{\mathbf{E}}_{3}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{{-a/2}}^{{a/2}}{\frac{dy}{\left(y^{2}+z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)^{\;3/2}}}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
\[
{\mathbf{E}}_{4}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}h}\left(\frac{a}{2h}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos\theta}\;d\theta \;\mathbf{i}\underbrace{-\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\operatorname{sen}\theta}\;d\theta}_{0}+\;\mathbf{\text{j}}+\frac{z}{h}\int_{{-\theta_{m}}}^{{\theta_{m}}}{\cos \theta}\;d\theta\;\mathbf{k}\right)
\]
Depois da integração
\[
{\mathbf{E}}_{4}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_{0}h^{2}}\operatorname{sen}\theta_{m}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
Após os mesmos cálculos para a determinação do sen θm
\[
{\mathbf{E}}_{4}=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_{0}\left(z^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}\right)}\frac{a}{\sqrt{z^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\;}}\left(\frac{a}{2}\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)
\]
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